Question

1/[（x+1）^2（x-1）]怎么裂项？

高数不定积分，求它的积分，不是很会裂项请教一下这个怎么裂，或者有别的方法求积分吗

Answer 1

可用待定系数法。
1/[(x+1)^2 (x-1)] = A/(x-1) + B/(x+1) + C/(x+1)^2
= [A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1)]/[(x-1)(x+1)^2]

分子比较同次幂系数，得
A+B = 0
2A+C = 0
A-B-C = 1
联立解得 A = 1/4， B = -1/4， C = -1/2
1/[(x+1)^2 (x-1)] = (1/4)[1/(x-1)-1/(x+1)-2/(x+1)^2]

追问

或许我可以问一下为什么第一步裂成（x-1）（x+1）和（x+1）^2吗

追答

目的是划分成便于积分的部分分式。
这一两句话说不清，请去看高等数学教材，“不定积分”一章，
“有理分式函数的积分”一节。

追问

好的，谢谢您！

Answer 2

解：可设
1/[(x+1)²(x-1)]
＝A/(x+1)+B/(x+1)²+C/(x-1)，
去分母，得
A(x+1)(x-1)+B(x-1)+C(x+1)²＝1，
令 x＝1 得 4C＝1，故 C＝1/4，
令 x＝-1 得 -2B＝1，故 B＝-1/2，
令 x＝0 得 -A-B+C＝1，
故 A＝C-B-1＝1/4+1/2-1＝-1/4，
所以有
1/[(x+1)²(x-1)]
＝1/[4(x-1)]-1/[4(x+1)]-1/[2(x+1)²].

追问

可以讲讲是为什么分成（x+1）（x+1）^2和（x-1）吗T_T 是有什么公式吗

追答

抱歉，刚看到，解答如下：
将有理分式的分母在实数范围内完全分解因式后，可按其可能含有的因式类型分如下四种基本情形来拆项：
① 含有(x+a)型因式时，拆成的项为 A/(x+a)；
② 含有(x+a)ⁿ(n>1)型因式时，拆成的项为
A₁/(x+a)+A₂/(x+a)²
+…+An/(x+a)ⁿ；
③ 含有(x²+px+q)(p²1)型因式时，拆成的项为
A₁/(x²+px+q)
+A₂/(x²+px+q)²
+…+An/(x²+px+q)ⁿ；
若分母分解因式后，含有上述多种情形，则把相应拆成的项相加即可.