Question

变上限定积分和不定积分的区别和联系

Answer 1

不定积分就是求f(x)的原函数簇，是一堆函数的集合，而变上限定积分是其中的一部分。

变上限积分和不定积分的区别

1、x的定义不同。变上限积分对于未知数x存在着定义域，而不定积分x没有定义域。

2、求法不同。变上限积分主要用到的知识是求极限的方法，而不定积分的求法是利用公式和定义去求，俩者不是一种类型的题。

3、得到的结果不同。变上限积分得到的是一个具体的值，而不定积分最终的结果只能是一个式子。

解释

根据牛顿－莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间［a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

不定积分就是求f(x)的原函数簇,是一堆函数的集合。而变上限定积分是其中的一部分。变上限定积分的下限是固定的，积分的上限可以变化，所以积分的结果也是一个关于上限变量的函数。既然有变上限定积分，也就有变下限定积分。但是计算的时候可以转化为变上限定积分计算，前面加个负号就可以了。对于不定积分，可以认为是去掉了变上限定积分的积分上下限，所以对积分结果的限制就更少。可以证明，对同一个被积函数，f(x)变上限定积分的导数和f(x)的不定积分的导数是相等的。