Question

行列式等于它们的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

Answer 1

余子式就是对一个
n
阶的行列式M，去掉M的第i
行第j
列后形成的
n-1
阶的行列式，叫做M关于元素mij的余子式
而代数余子式=(-1)^(i+j)
×
余子式
行列式等于它们的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，
这句话的意思就是
在行列式中任选某行或列，这一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和就等于行列式的值
比如某行列式
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
将其按照第一行展开，
a11的余子式就是将第1行和第一列的元素去掉，
即为a22
a23
a32
a33
则a11的代数余子式=(-1)^(1+1)
×(a22*a33-a23*a32)
同理可得a12的代数余子式=(-1)^(1+2)
×(a21*a33-a23*a31)
a13的代数余子式=(-1)^(1+3)
×(a21*a32-a22*a31)
于是行列式的值=a11×a11的代数余子式+a12×a12的代数余子式+a13×a13的代数余子式
=(-1)^(1+1)
×(a22*a33-a23*a32)
+
(-1)^(1+2)
×(a21*a33-a23*a31)
+
(-1)^(1+3)
×(a21*a32-a22*a31)
任取某一行或列都是可以的