Question

关于数列收敛性定义

Answer 1

数列
(-1/n)^n，n无穷大时，它趋向0，存在极限，但是这里的极限值是0，0不是正数，怎么能适用于你所说的保号性呢？这种保号性只有在极限值不等于零的时候才是成立的，极限为0的情形不成立。
另外，以数学专业的角度来说，“每个收敛数列都具有保号性”这句话本身就没有多大的数学意义，而且表述也不是很严格，不用太在意这种结论，明白“数列限若是正数，存在一个正整数N，数列在第N项之后每一项也都大于0”这句话的含义就可以了。

Answer 2

利用“单调有界数列必收敛”的定理来证明
因为xn=1/2*3/4*...*(2n-1)/2n<1/2*3/4*...*(2n-3)/(2n-2)=x(n-1)
所以{xn}是单调递减数列
又因为0
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Answer 3

利用“单调有界数列必收敛”的定理来证明
因为xn=1/2*3/4*...*(2n-1)/2n<1/2*3/4*...*(2n-3)/(2n-2)=x(n-1)
所以{xn}是单调递减数列
又因为0
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