Question

洛必达法则是怎么推出来的？

Answer 1

洛必达法则(l'Hôpital's
rule)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
　设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
　　(3)当x→a时lim
f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→a时
lim
f(x)/F(x)=lim
f'(x)/F'(x)。
　　再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
　　(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
　　(3)当x→∞时lim
f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
　　x→∞时
lim
f(x)/F(x)=lim
f'(x)/F'(x)。

Answer 2

当然不是，有些等价无穷小，不需要或不可以使用洛必达法则，是用其他方法做的。
例如当x→0的时候，x²和x²+x是等价无穷小，这个用洛必达法则可以算，但是直接分子分母痛处除以x²，更容易算，一般不用洛必达法则。
还有当x→0的时候，sinx和x是等价无穷小。但是lim（x→0）sinx/x=1这个极限不能用洛必达法则计算。因为sinx的导数是cosx，这个推导过程中，使用了lim（x→0）sinx/x=1这个结论。所以在证明lim（x→0）sinx/x=1过程中，如果用洛必达法则，就属于循环证明，是种证明逻辑错误。这个是用夹逼原理来做的。
所以不一定是用洛必达法则做的。