Question

an=2ⁿ﹣¹,a₁=1,q=2,求a3+a5+a7+....+a2n+1的值

Answer 1

a1=1,q=2,an=2^(n-1),如今求a3+a5+....a(2n+1),其实你可以发现a3,a5,a7....a(2n+1)可以构成一个新数列，由a5/a3=a7/a5=......a(2n+1)/a(2n-1)=2^2=4,其中a3=2^2=4,不妨设成b1,b2,...bn,其中新数列为b1=4,q=4的等比数列，S=b1+b2+.....bn=4(1-4^n)/(1-4)=[4^(n+1)-4]/3

Answer 2

解答：解（1）∵a1=1，a2n=a2n-1+（-1）n，a2n+1=a2n+3n（n∈n*），
∴a2＝a1+(?1)1＝0，
a3＝a2+31＝3，
a4=a3+1=4，
a5＝a4+32＝13，
a6=a5-1=12，
a7＝a6+33＝39．
（2）由题意知，a2n+1-a2n-1=3n+（-1）n（n∈n*）．
∴a2n-1-a2n-3=3n-1+（-1）n-1，
a2n-3-a2n-5=3n-2+（-1）n-2，
…
a5-a3=32+（-1）2，
a3-a1=31+（-1）1，
以上各式累加得，a2n-1-a1=31+32+…3n-1+[（-1）1+（-1）2+…+（-1）n-1]．
∴a2n?1＝
3n?(?1)n
2
?1（n∈n*）．
（理）（3）∵a2n?1＝
3n?(?1)n
2
?1（n∈n*），
∴a2n＝
3n+(?1)n
2
?1（n∈n*）．
∴a2n?1+a2n＝3n?2．
又sn=a1+a2+a3+…+an，
1°当n为偶数时，sn=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-1+an）
=（3-2）+（32-2）+…+（3
n
2
-2）
=
3
2
?3
n
2
?n?
3
2
．
2°当n为奇数时，sn=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-2+an-1）+an
=(3?2)+(32?2)+…+(3
n?1
2
?2)+
3
n+1
2
?(?1)
n+1
2
2
?1
=3
n+1
2
?n?
3
2
?
(?1)
n+1
2
2
．
综上，有sn＝
3
2
?3
n
2
?n?
3
2
，n为偶数
3
n+1
2
?n?
3
2
?
(?1)
n+1
2
2
，n为奇数
（n∈n*）．