椭圆的方程怎么求
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我们知道，椭圆的定义是：平面上，到两定点的距离之和为定值（大于两定点距离）的动点轨迹叫做椭圆。其中，两个定点为焦点。用集合表示为：M={P|PF1+PF2=2a，2a
F1F2}，集合M的轨迹叫做椭圆。
怎么利用已有知识，推导出椭圆的标准方程？下面介绍六种方法，它们体现了方程思想、化归思想、数形结合思想、整体思想、配方法、待定系数法、参数法。
代数法
若用代数的方法来研究椭圆，要在平面直角坐标系xOy中，研究椭圆的方程。我们知道坐标系不同，曲线的方程是不同的，那么如何建立直角坐标系呢？
以线段F1F2的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y 轴，建立直角坐标系xOy（图1）。
在直角坐标系xOy中，如何求椭圆的方程呢？
设F1F2的长为2c，得到椭圆的两焦点坐标为F1(-c，0)，F2(c，0)，在椭圆上任取一点P(x，y)，用距离公式将集合M改写为（x+c）2+y2姨 +（x-c）2+y2姨 =2a，这就是椭圆的方程。
化简法
下面说说如何化为最简形式。等式两边平方后，得 x2+y2+c2+[（x+c）2+y2][（x-c）2+y2]姨 =2a2，但左边还是有根式，两边再平方更麻烦。若将x2+y2+c2看做一个整体，然后移项再平方，即[（x+c）2+y2][（x-c）2+y2]姨 =2a2-(x2+y2+c2)，两边同时平方，得[(x2+y2+c2)+2cx][(x2+y2+c2)-2cx]=[2a2-(x2+y2+c2)]2，即(x2+y2+c2)2-4c2x2=4a4-4a2(x2+y2+c2)+(x2+y2+c2)2，化简整理，得a2x2+a2y2-c2x2=a4-a2c2，也就是(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，所以有x2a2+ y2a2-c2=1（*）。
还有另一种方法更简单，就是先移项再平方，然后再移项再平方。移 项，得（x+c）2+y2姨 =2a-（x-c）2+y2姨 ，两边同时平方并化简整理，得 cx=a2-a （x-c）2+y2姨 ， 即 a（x-c）2+y2姨 =a2-cx，两边再平方，得a2x2+a2y2+a2c2=a4+c2x2。
配方法
（x+c）2+y2姨 +（x-c）2+y2姨 =2a，两 边 同 时 乘 以（x+c）2+y2姨 -（x-c）2+y2姨 ， 可 得（x+c）2+y2姨 -（x-c）2+y2姨 =2cxa 。由、联立，可得（x+c）2+y2姨 =a+cxa，（x-c）2+y2姨 =a-cx a。对其中一个等式两边平方，得a2x2+a2y2+a2c2=a4+c2x2。
待定系数法
先判断分析，再利用待定系数法求出其方程。首先对等式进行分析，平方后一定是关于x，y的二次方程式。又发现将y-y，方程式不变，这说明椭圆关于x轴对称，即化简后不含y的一次项；将x-x，方程式不变，这说明椭圆关于y轴对称，即化简后不含x的一次项，当然不含x与y的乘积项，于是就可以设椭圆的方程为Ax2+By2=F 。又因为椭圆不过原点，所以有F0。
根据椭圆的定义和演示过程可知，当点P运动到y轴时，PF1=PF2=a，而OF1=OF2=c，所以OP= a2-c2姨 ，即椭圆与y轴的交点坐标为(0, a2-c2姨 ),(0,- a2-c2姨 )。
当P点运动到x轴上时，在左端有PF1=a-c，在右端有PF2=a-c，而OF1=OF2=c，所以OP=a，即椭圆与x轴的交点坐标为(-a,0),(a,0)。
将点(0, a2-c2姨 )，(a,0)的坐标代入方程，可解得FA=a2，FB=a2-c2，方程化简即得（*）。
构造法
可以把椭圆看成是圆经过压缩变换而得到的，利用构造法求椭圆的方程。
以原点O为圆心，分别以a, a2-c2姨为半径作两个同心圆，过圆心O作射线交大圆于点M，交小圆于点N，再过点M 作x轴的垂线，垂足为Q，过N作NPMQ于P，点P的轨迹方程就是我们所要求的椭圆方程（图2）。
设点P(x,y)，M(x0,y0)，由平行线截线段成比例知，ONOM=QPQM，即 a2-c2姨a
y y0，因此x0=x y0= aya2-c2姨 。 又因为大圆的方程为x2+y2=a2，而点M在大圆上，所以x02+y02=a2，代入得x2+（ aya2-c2姨 ）2=a2，故得（*）。
参数法
参数法就是引进第三个变量，而点P的坐标(x,y)用表示，再用同角三角函数关系将消去即可得出点P的轨迹方程。
在刚才构造法的基础上，设MOX=（0
小 结
上述各种解法推导出的方程中都有a2-c2，为了简洁起见，设b2=a2-c2（b0），于是上述各椭圆方程都可以化为x2a2+y2b2=1（ab
0）（**），这就是椭圆的标准方程。
如果焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)的椭圆的标准方程是y2a2+x2b2=1（ab
0）。
如何判断椭圆的焦点在哪个轴上？比较x2,y2的分母，哪个大，焦点就在哪个轴
我们知道，椭圆的定义是：平面上，到两定点的距离之和为定值（大于两定点距离）的动点轨迹叫做椭圆。其中，两个定点为焦点。用集合表示为：M={P|PF1+PF2=2a，2a
F1F2}，集合M的轨迹叫做椭圆。
怎么利用已有知识，推导出椭圆的标准方程？下面介绍六种方法，它们体现了方程思想、化归思想、数形结合思想、整体思想、配方法、待定系数法、参数法。
代数法
若用代数的方法来研究椭圆，要在平面直角坐标系xOy中，研究椭圆的方程。我们知道坐标系不同，曲线的方程是不同的，那么如何建立直角坐标系呢？
以线段F1F2的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y 轴，建立直角坐标系xOy（图1）。
在直角坐标系xOy中，如何求椭圆的方程呢？
设F1F2的长为2c，得到椭圆的两焦点坐标为F1(-c，0)，F2(c，0)，在椭圆上任取一点P(x，y)，用距离公式将集合M改写为（x+c）2+y2姨 +（x-c）2+y2姨 =2a，这就是椭圆的方程。
化简法
下面说说如何化为最简形式。等式两边平方后，得 x2+y2+c2+[（x+c）2+y2][（x-c）2+y2]姨 =2a2，但左边还是有根式，两边再平方更麻烦。若将x2+y2+c2看做一个整体，然后移项再平方，即[（x+c）2+y2][（x-c）2+y2]姨 =2a2-(x2+y2+c2)，两边同时平方，得[(x2+y2+c2)+2cx][(x2+y2+c2)-2cx]=[2a2-(x2+y2+c2)]2，即(x2+y2+c2)2-4c2x2=4a4-4a2(x2+y2+c2)+(x2+y2+c2)2，化简整理，得a2x2+a2y2-c2x2=a4-a2c2，也就是(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，所以有x2a2+ y2a2-c2=1（*）。
还有另一种方法更简单，就是先移项再平方，然后再移项再平方。移 项，得（x+c）2+y2姨 =2a-（x-c）2+y2姨 ，两边同时平方并化简整理，得 cx=a2-a （x-c）2+y2姨 ， 即 a（x-c）2+y2姨 =a2-cx，两边再平方，得a2x2+a2y2+a2c2=a4+c2x2。
配方法
（x+c）2+y2姨 +（x-c）2+y2姨 =2a，两 边 同 时 乘 以（x+c）2+y2姨 -（x-c）2+y2姨 ， 可 得（x+c）2+y2姨 -（x-c）2+y2姨 =2cxa 。由、联立，可得（x+c）2+y2姨 =a+cxa，（x-c）2+y2姨 =a-cx a。对其中一个等式两边平方，得a2x2+a2y2+a2c2=a4+c2x2。
待定系数法
先判断分析，再利用待定系数法求出其方程。首先对等式进行分析，平方后一定是关于x，y的二次方程式。又发现将y-y，方程式不变，这说明椭圆关于x轴对称，即化简后不含y的一次项；将x-x，方程式不变，这说明椭圆关于y轴对称，即化简后不含x的一次项，当然不含x与y的乘积项，于是就可以设椭圆的方程为Ax2+By2=F 。又因为椭圆不过原点，所以有F0。
根据椭圆的定义和演示过程可知，当点P运动到y轴时，PF1=PF2=a，而OF1=OF2=c，所以OP= a2-c2姨 ，即椭圆与y轴的交点坐标为(0, a2-c2姨 ),(0,- a2-c2姨 )。
当P点运动到x轴上时，在左端有PF1=a-c，在右端有PF2=a-c，而OF1=OF2=c，所以OP=a，即椭圆与x轴的交点坐标为(-a,0),(a,0)。
将点(0, a2-c2姨 )，(a,0)的坐标代入方程，可解得FA=a2，FB=a2-c2，方程化简即得（*）。
构造法
可以把椭圆看成是圆经过压缩变换而得到的，利用构造法求椭圆的方程。
以原点O为圆心，分别以a, a2-c2姨为半径作两个同心圆，过圆心O作射线交大圆于点M，交小圆于点N，再过点M 作x轴的垂线，垂足为Q，过N作NPMQ于P，点P的轨迹方程就是我们所要求的椭圆方程（图2）。
设点P(x,y)，M(x0,y0)，由平行线截线段成比例知，ONOM=QPQM，即 a2-c2姨a
y y0，因此x0=x y0= aya2-c2姨 。 又因为大圆的方程为x2+y2=a2，而点M在大圆上，所以x02+y02=a2，代入得x2+（ aya2-c2姨 ）2=a2，故得（*）。
参数法
参数法就是引进第三个变量，而点P的坐标(x,y)用表示，再用同角三角函数关系将消去即可得出点P的轨迹方程。
在刚才构造法的基础上，设MOX=（0
小 结
上述各种解法推导出的方程中都有a2-c2，为了简洁起见，设b2=a2-c2（b0），于是上述各椭圆方程都可以化为x2a2+y2b2=1（ab
0）（**），这就是椭圆的标准方程。
如果焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)的椭圆的标准方程是y2a2+x2b2=1（ab
0）。
如何判断椭圆的焦点在哪个轴上？比较x2,y2的分母，哪个大，焦点就在哪个轴
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