Question

人教版新高一数学必修一求函数的解析式换元法

Answer 1

　1.
函数的奇偶性
　　(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x)
;
　　(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则
f(0)=0(可用于求参数);
　　(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或
(f(x)≠0);
　　(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;
　　(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
　　2.
复合函数的有关问题
　　(1)复合函数定义域求法：若已知
的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求
f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即
f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
　　(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
　　3.函数图像(或方程曲线的对称性)
　　(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
　　(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;
　　(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
　　(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;
　　(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
　　(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=
对称;
　　4.函数的周期性
　　(1)y=f(x)对x∈R时，f(x
+a)=f(x-a)
或f(x-2a
)=f(x)
(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
　　(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
　　(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
　　(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2
的周期函数;
　　(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2
的周期函数;
　　(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=
，则y=f(x)是周期为2
的周期函数;
　　5.方程k=f(x)有解
k∈D(D为f(x)的值域);
　　6.a≥f(x)
恒成立
a≥[f(x)]max,;
a≤f(x)
恒成立
a≤[f(x)]min;
　　7.(1)
(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
(2)
l
og
a
N=
(
a>0,a≠1,b>0,b≠1);
　　(3)
l
og
a
b的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4)
a
log
a
N=
N
(
a>0,a≠1,N>0
);
　　8.
判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
　　9.
能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
　　10.对于反函数，应掌握以下一些结论：(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5)
y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
　　11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
　　12.
依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题
　　13.
恒成立问题的处理方法：(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;这算是函数比较完整的解法，你可以变换着做，不是每一道题只有一种方法