Question

已知函数f(x)=ax^3-3/2x^2+1(x∈r),其中a>0

(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程; (2)若在区间[-1/2,1/2]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

(1)
a=1
,
f(x)=x^3-3/2x^2+1(x∈r),
f(x)'=3x^2-3x
x=2
,f(x)'=12-6=6
f(2)=3
切线方程为y=6x-9
(2)f(x)'=3ax^2-3x
(a>0)
f(x)'=0
得
x=0
或
x=1/a
x在[-1/2,0]
[1/a,∞)单增
[0,1/a]单减
a≥2时
，1/a≤1/2
f(x)最小值为f(1/a)或f(-1/2)
f(1/a)=1/a^2-3/2*1/a^2+1=1-1/2*1/a^2＞0
解得a＞2^½
∴a≥2
f(-1/2)=
-a/8-3/8+1=-a/8+5/8＞0
解得a＜5
∴2≤a＜5
0＜a＜2时
，1/a＞1/2
f(x)最小值为f(1/2)或f(-1/2)
f(1/2)=a/8-3/8+1=a/8+5/8＞0
恒成立
f(-1/2)=
-a/8-3/8+1=-a/8+5/8＞0
解得a＜5
∴0＜a＜2
综上可得
a的取值范围
0＜a＜5