Question

在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A．B、C，且sin2A+sin2C-si...

在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A．B、C，且sin2A+sin2C-sinA•sinC=sin2B （1）求角B的值； （2）求2cos2A+cos（A-C）的范围．

Answer 1

解析：（1）△ABC中，由正弦定理得sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R ，
代入已知式，可得
a2+c2-b2=ac，
再由余弦定理求得，cosB=a2+c2-b22ac=12，∴B=π3．
（2）△ABC中，A+B+C=π，又B=π3，∴A+C=2π3，即
C=2π3-A，A-C=2A-2π3．
∴2cos2A+cos（A-C）=2cos2A+cos（2A-2π3）=cos2A+1+cos2A•（-12）+sin2A•32=32sin2A+12cos2A+1
=sin（2A+π6）+1．
∵0＜A＜2π3，∴π6＜2A+π6＜3π2，∴-1＜sin（2A+π6）≤1，0＜sin（2A+π6）+1≤2，
即2cos2A+cos（A-C）的范围是（0，2]．