Question

已知函数.()当时,求函数的单调区间;()若函数在上的最小值是,求的值.

已知函数. ()当时,求函数的单调区间; ()若函数在上的最小值是,求的值.

Answer 1

()求出的导数,令导数大于求函数的增区间,导数小于求函数的减区间.
()对进行分类讨论,分别求出各种情况下的函数在上的最小值令其为解方程求得的值
解:函数的定义域为,(分)
(分)
(),,
故函数在其定义域上是单调递增的.(分)
()在上,分如下情况讨论:
当时,,函数单调递增,其最小值为,这与函数在上的最小值是相矛盾;
当时,函数在单调递增,其最小值为,同样与最小值是相矛盾;(分)
当时,函数在上有,单调递减,
在上有,单调递增,
所以,函数的最小值为,由,得.
当时,函数在上有,单调递减,
其最小值为,还与最小值是相矛盾;
当时,显然函数在上单调递减,其最小值为,仍与最小值是相矛盾;(分)
综上所述,的值为.(分)
本题是导数的应用题,应用层数证明单调性,求单调区间,这是导数的一个重要运用.