Question

已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点

已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的坐标及半径. 解答如下， :将x=3-2y代入方程x2+y2+x-6y+m=0，得5y2-20y+12+m=0.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件y1+y2=4，y1y2=12+m5.∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1，x2=3-2y2，∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3，此时△＞0，圆心坐标为(-12，3)，半径r=52.我问一下 ∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0.这一步怎么来的

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

将圆方程化简为标准式有:
[x+(1/2)]^2+(y-3)^2=(37-4m)/4……………………………(1)
所以，圆心坐标为(-1/2,3)
联立直线与圆方程得到:
x^2+x+y^2-6y+m=0
x+2y-3=0
===>
(2y-3)^2-(2y-3)+y^2-6y+m=0
===>
4y^2-12y+9-2y+3+y^2-6y+m=0
===>
5y^2-20y+(m+12)=0
===>
y1+y2=4，y1y2=(m+12)/5
===>
x1x2=(-2y1+3)(-2y2+3)=4y1y2-6(y1+y2)+9=4(m+12)/5-15
已知OP⊥OQ
则，Kop*Koq=-1
即:(y1/x1)*(y2/x2)=-1
===>
y1y2+x1x2=0
===>
(m+12)/5+4(m+12)/5-15=0
===>
m+12-15=0
===>
m=3