Question

求一道定积分题，题目如图

为什么换元后是t是八次方？我哪一步算错了，求解答

Answer 1

x^3根号(....) dx代换成t时，你忽略了根号(....)部分，只考虑了x^3

Answer 2

求定积分：∫<0,a>x³√[x/(a-x)]dx=?
解：令√[x/(a-x)]=u，则 x/(a-x)=u²； x=(a-x)u²； (1+u²)x=au²；故x=au²/(1+u²);
dx=ad[u²/(1+u²)]=a{[2u(1+u²)-2u³]/(1+u²)²}du =2audu/(1+u²)²
当x=0时u=0；当x=a时u=+∞; 故
原式=2(a^4)∫<0,+∞>[u²/(1+u²)]³[u²du/(1+u²)²]
=(2a^4)∫<0，+∞>[(u^8)/(1+u²)^5]du
令u=tanθ，则du=sec²θdθ；u=0时θ=0；u=+∞时θ=π/2; 于是
前式=(2a^4)∫<0, π/2>{[(tanθ)^8]/[1+tan²θ)^5]}sec²θdθ
=(2a^4)∫<0,π/2>[(tanθ)^8/(secθ)^8]dθ
=(2a^4)∫<0,π/2>[(sinθ)^8]dθ=(2a^4)∫<0,π/2>[(1-cos2θ)/2]^4dθ
=(1/8)a^4∫<0,π/2>(1-cos2θ)^4dθ=........
注：你漏写一个t, √[x/(a-x)]=t，你漏写了。