Question

已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2b-c)cosA-acosC=0

已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2b-c)cosA-acosC=0 (1)求角A的大小，(2)若a=根号3，求△ABC面积的最大值

Answer 1

解:
(1)△ABC中
∵(2b-c)cosA-acosC=0
∴由正弦定理得(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0，
则
2sinBcosA=sin(A+C)=sinB
∵sinB≠0，∴2cosA=1
从而
cosA=0.5
∴角A=60°
(2)
由余弦定理，得
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
(√3)^2=b^2+c^2-2bc*cos60°
3=b^2+c^2-bc
3=(b+c)^2-3bc
①
又
(b+c)^2>=4bc
从而
(b+c)^2-3bc>=4bc-3bc=bc
②
则
①②得
bc<=3
从而
bc最大值=3
∴△ABC面积的最大值=1/2*b*c8sinaA
=1/2*3*sin60°
=3/2*√3/2
=3√3/4