Question

高数 微分中值？

Answer 1

Answer 2

如果ξ=η，η²=ab，η=√（ab），f'(√（ab）≠0,
a<b,a²<ab,ab<b²，a²<ab<b²，a<√ab<b,a<η<b.
满足题意。
如果f'(√（ab）=0，取ξ=η=√（ab），原式两边是0，相等，仍然成立。

Answer 3

这个题目存在双介值，一般需要同时使用多条中值定理。这里需要同时使用柯西中值定理和拉格朗日中值定理。
这里面最难的就是使用柯西中值定理时g(x)应该怎么确定。右侧存在η²f'(η)，
转换成f'(η) / (1/η²)，
而1/η²正好是1/x的导数取负号。所以这里取g(x)=1/x。
根据柯西中值定理，存在η，使得
f'(η) / g'(η) = -f'(η) / (1/η²) = -η²f'(η) = [f(b) - f(a)] / (1/b-1/a) = ab[f(b) - f(a)]/(a-b).
所以有η²f'(η)=ab[f(b) - f(a)]/(b-a)。而根据拉格朗日中值定理，存在ξ，使得
f'(ξ)=[f(b) - f(a)]/(b-a)。
所以，存在η、ξ，使得η²f'(η)=abf'(ξ)。命题得证。
仅供参考~