Question

高一数学最后一题，帮帮我吧，要过程，谢啦，必修二的题，拜托了

Answer 1

解：
（1）求m的取值范围。
方程
x²
+
y²
+
x
-
6y
+
m
=
0
可化为：
x²
+
x
+
1/4
+
y²
-
6y
+
9
+
m
=
1/4
+
9
即：(x
+
1/2)²
+
(y
-
3)²
=
9
-
m
+
1/4
∵该方程表示一个圆
∴半径的平方应大于零
即：9
-
m
+
1/4
＞
0
∴
m
＜
37/4
（2）若OP
⊥
OQ，求圆C方程，就是让求此时m的值。
本题中圆方程可化简为：
[x+(1/2)]²
+
(y-3)²
=(37-4m)/4
大凡求直线与圆的交点问题，一般需联立直线方程与圆方程得到方程组：
x²
+
y²
+
x
-
6y
+
m
=
0
x
+
2y
-
3
=
0
把
x
=
-
(2y
-
3)代入圆方程，得：
(2y-3)²
-
(2y-3)
+
y²
-
6y
+
m
=
0
∴
4y²
-
12y
+
9
-
2y
+
3
+
y²
-
6y
+
m
=
0
∴
5y²
-
20y
+
(m+12)
=
0
由“根与系数的关系”知：
y1
+
y2
=
4，
y1y2
=
(m+12)/5
∴
x1x2
=
(-2y1
+
3)(-2y2
+
3)
=
4y1y2
-
6(y1
+
y2)
+
9
=
4(m
+
12)/5
-15
∵
OP⊥OQ
∴
直线OP与直线OQ的斜率之积为(-1)
∴
Kop
×
Koq
=
-
1
∴
(y1/x1)
×
(y2/x2)
=
-
1
∴
y1y2
+
x1x2
=
0
∴(m+12)/5
+
[
4(m+12)/5
-15
]
=
0
∴
m
+
12
-
15
=
0
∴
m
=
3
∴
圆C方程为
x²
+
y²
+
x
-
6y
+
3
=
0
（3）过（-2，4）作直线与圆C交于M、N两点，若|MN|
=
4,求直线MN的方程。
把圆C方程x²
+
y²
+
x
-
6y
+
3
=
0
化为
(x
+
1/2)²
+
(y
-
3)²
=
25/4
易看出其圆心为（-1/2，3），半径为
5/2
∵
弦MN满足
|MN|
=
4
∴
弦长MN的一半为2
圆心(-1/2，3)到弦的距离d
=
√[(5/2)²
-2²]
=
3/2
(根据勾股定理、垂径定理)
设过点（-2,
4）的直线斜率为k
则该直线为：y
=
k(x+2)
+
4
进一步化简为：kx
-
y
+
2k
+
4
=
0
圆心(-1/2，3)到该直线的距离为
d
=
|k×(-1/2)
-
1×3
+
(2k+4)|/√(k²+1²)
=
3/2
∴
|3k+2|/√(k²+1)
=
3
∴
(3k
+
2)²
=
9(k²+1)
∴
9k²
+
12k
+
4
=
9k²
+
9
∴
12k
=
5
∴
k
=
5/12
∴直线MN的方程为y
=
(5/12)(x
+
2)
+
4
即为：y
=
(5/12)x
+
29/6