Question

求助！！大一的极限证明题目啊

严格地用ε-N的方法证明n^2*q^n的极限为0，当n趋向于无穷大时候。 其中n为正整数，q的绝对值小于1 n^2*q^n的意思是：（n的平方)乘以（q的n次方）

Answer 1

|q|<1,故可设|q|=1/(1+x),x>0
设f(x)=(1+x)^n,由
泰勒公式
可知，
f(x)=(1+x)^n=f(0)+f'(0)x+f''(0)*x^2/2!+f'''(0)*x^3/3!+Rn(x)
因为x>0,0<ξ
0
∴f(x)>f'''(0)*x^3/3!=n(n-1)(n-2)x^3/3!>n^2(n-3)x^3/6
∴|q|^n=1/(1+x)^n<1/[n^2(n-3)x^3/6]=6/n^2(n-3)x^3
∴|n^2*q^n-0|=|n^2|*|q^n|
6/εx^3+3
取N=[6/εx^3+4]，则当n>N时，必有
|n^2*q^n-0|<6/(n-3)x^3<ε
由ε的
任意性
可知，n趋于∞时n^2*q^n的极限为0
命题得证