Question

微积分求助

用|S-SN|≤bN+1查找N的最小值，以便SN近似于总和S的值，误差不超过10^-4

Answer 1

分享解法如下。∵n<n+1，n<n+2，∴1/[n(n+1)(n+2)<1/(n³【视n和N为同一表达式】。∴丨S-SN丨=1/[N(N+1)(N+2)<1/N³。
令1/N³=10^(-4)。∴N=10^(4/3)=21.54。取整，N=22。
【事实上，设S(x)=∑[x^(n+2)]/[n(n+1)(n+2)。易得，S(x)的收敛域为x∈[-1,1]。
对S(x)在其收敛区间内进行3次求导、求和，有S'''(x)=1/(1-x)。再对S'''(x)求积分、且利用S'(0)=S''(0)=S(0)=0，∴S(x)=(3/4)x²-(x/2)-(1/2)(1-x)²ln(1-x)。
显然，题中S=-S(-1)=2ln2-(5/4)≈0.13629436。当n=22时，S=0.136255869 。丨S-S22丨= 0.4*10^(-4)是满足要求的】。