Question

正态分布随机变量的和还是正态分布吗?

Answer 1

正态分布随机变量的和不一定还是正态分布。

不相关的正态分布随机变量的和还是正态分布，相关的正态分布随机变量的和不一定还是正态分布。

相关如下

X+Y还是正态，要求X和Y必须是jointly normal的。两个相互独立的正态是这种情况的一个特例。
如X, Y是jointly norma的则X+Y ~ N( EX+EY, var(X) + var(Y) + 2cov(X,Y)) 。 如果X,Y independent, 则cov(X,Y)=0。

一个常见的非jointly normal 的两个正态随机变量加起来不是正态的。

X ~ N(EX, var(X) )是一个正态随机变量。令Y= m * X.其中m 有1/2 概率为1，1/2 概率为-1，m 独立于X。可以证明Y的分布也是正态的。但是X+Y= (1+m) *X不是正态分布，因为其会在0点有一个概率为1/2的聚集。