Question

请问如图所示的式子是怎么裂项的，求过程

Answer 1

(2s^3-s^2-1)/[(s+1)^2 (s^2+1)^2]
= a/(s+1) + b/(s+1)^2 + (cs+d)/(s^2+1) + (es+f)/(s^2+1)^2
通分，分子

= a(s+1)(s^2+1)^2+b(s^2+1)^2+(cs+d)(s+1)^2(s^2+1)+(es+f)(s+1)^2
= 2s^3-s^2-1
比较 s 同次幂的系数， 得
s^5 的系数 : a+c = 0 (1)
s^4 的系数 : a+b+2c+d = 0 (2)
s^3 的系数 : 2a+2c+2d+e = 2 (3)
s^2 的系数 : 2a+2b+2c+2d+2e+f = -1 (4)
s 的系数 : a+c+2d+e+2f = 0 (5)
常数项 ：a+b+d+f = -1 (6)
由 (1) c = -a， 代入(2)，得 b+d = a， 代入 (6) 得 f = -1-2a
(3)~ (5) 变为
2d+e = 2 (7)
2b+2d+2e+f = -1 (8)
2d+e+2f = 0 (9)
(9) - (7) ，得 2f = -2, f = -1, 又 f = -1-2a， 得 a = c = 0，d = -b。
(8) 变为 2e-1 = -1, 得 e = 0, 代入(7)，得 d = 1, b = -1
(2s^3-s^2-1)/[(s+1)^2 (s^2+1)^2]
= -1/(s+1)^2 + 1/(s^2+1) - 1/(s^2+1)^2
该结果 即：
-1/(s+1)^2 + (1/2)/(s^2+1) + (1/2)/(s^2+1) - 1/(s^2+1)^2
= -1/(s+1)^2 + (1/2)/(s^2+1) + [(1/2)/(s^2+1)^2][ s^2+1-2 ]
= -1/(s+1)^2 + (1/2)/(s^2+1) - (1/2)(1-s^2)/(s^2+1)^2
与题目中一致。