Question

绝对值三角不等式是什么？

Answer 1

三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子（这里不作介绍）。三角不等式虽然简单，但却是平面几何不等式里最为基础的结论。

内容及其证明

内容：

在任何三角形中，任意两边之和大于第三边。 

证明：

方法一（线段公理）：

记△ABC，BC是一条线段，而AB+AC不是一条线段，所以AB+AC>BC，所以三角形两边之和必然大于第三边（两点之间线段最短）。（注意：这里引用的线段公理并不是《几何原本》中的公设）。

方法二（《几何原本》第Ⅰ 卷命题20）：

设ABC为一个三角形，记△ABC，延长BA至点D，使DA = CA，连接DC。

则因DA = AC ，∠ADC = ∠ACD （等边对等角，《几何原本》命题5）

所以∠BCD大于∠ADC（平行公设）

由于DCB是三角形，∠BCD大于∠BDC，而且较大角所对的边较大（大角对大边，命题19）

所以DB > BC，而DA = AC

则DB = AB + AD = AB + AC > BC