Question

为什么说除法是乘法的逆运算

Answer 1

为什么说除法是乘法的逆运算

  其实除法是乘法的逆运算与减法是加法的逆运算类似，不同之处在于： 加法逆运算的表达是通过0，而乘法逆运算的表达是通过1 ， 我们来分析如何表示除法。

对于a∈Z，b∈Z，a÷b=ya= b×y

这个关系表明除法是乘法的逆运算，因

这个关系表明除法是乘法的逆运算，因为除法可以与乘法对应。通常在上式中， a称为被除数，b称为除数，y称为商 。

�1、若商为整数，那么命题“a是b的y倍”等价与命题“b的y倍是a”。通过上面的式子还可以看到，对于前一个命题，即“a是b的多少倍”这样的问题应当用除法；对于后一个命题，即“b的y倍是多少”这样的问题应当用乘法。因为理解除法比理解乘法要困难一些，因此在实际教学过程中，往往需要借助乘法来说明除法。 

�2、若商不是整数，比如5÷2就不能表示为整数，这就需要构建一种新的数，人们把这样的数称为有理数。这样，通过除法，可以把数的集合由整数集合扩充到有理数集合，通常用Q表示这个集合。人们把四则运算推广到有理数集合的同时，也把相应的运算法则扩充到有理数集合。但是，在推广过程中需要特别注意逆运算，对于逆运算，有些法则成立，有些法则不成立，比如：

分配律成立：（5+6）÷3=（5÷3）+（6÷3)

交换律不成立：5÷3≠3÷5

除法与倒数

倒数的定义方法如下：

对于b∈Z且不为0，满足b×y=1

的数，y称为b的倒数，表示1/b。与相反数类似，b与1/b互为倒数。进一步，对于任何a∈Z，用a/b表示a个1/b这样的数。通过这样的表示，就可以利用倒数把整数集合扩充到有理数集合，即把有理数集合表示为

    Q={a/b;a∈Z,b∈Z-{0}}

上面关于有理数集合的表示是具有一般性的：用大括号包括所有集合中的元素；分号前面表示的是集合中元素的形式；分号后面表示的是集合中元素的属性。其中符号b∈Z-{0}表示b可以是除去0以外的所有整数，这种表示也意味着“0不能为除数”

为什么会有这样的规定呢？

通过乘法的逆运算定义除法的模式是这样的

a÷b=ya=b×y（其中b为除数）

如果我们假设b=0，分析上面右边的乘法算式，可以有两种情况：一种情况是a≠0，那么无论y为任何数，上面右边的等式都不成立，因此乘法不成立，进而除法不成立；另一种情况是a=0，这样右边的等式可以表示为0=0×y，这时无论y是任何数，等式都成立，因此计算结果不唯一，进而除法不成立。综上所述，在除法运算中除数不能为0.

倒数与除法之间的关系：除以一个数等于乘以这个数的倒数。    a÷b=a×b分之一

在乘法运算过程中，人们通常会省略其中的乘法符号“×”，有时可以写成a÷b=a/b。虽然这种表示方法与分数是一致的，但从抽象的本意来说，分数与除法是有本质差异的。分数的本质是数而不是运算。