任何域的有限乘法子群都是循环群，这个命题怎么证明？
证明如下：
设这个有限乘法子群为G, 设a是G中阶数最大的一个元素，并设a的阶数为r, 记A=<a>。
假设r<|G|。
因为G是个有限阿贝尔群，所以G中任意元素的阶数都能整除阶数最大的元素的阶数。
所以任给c∈G\A, 设c的阶数为n, 则n|r, 设r=kn。
因为c与1,a^k,a^{2k},...,a^{(n-1)k}都为x^n=1的根，而该方程在此域中的根不会超过n个，所以c必定等于1,a^k,a^{2k},...,a^{(n-1)k}中的一个，与c∈G\A矛盾。
综上所述，G为循环群。
子群的基本性质
H是群G的子群当且仅当其为非空集且在乘积和逆运算下为封闭的。(封闭条件是指：任两个在H内的元素a和b，ab和a−1都为在H中。这两个条件可以结合成一个等价的条件：任两个在H内的a和b，ab−1也会在H内。)
在H是有限的情状下，则H是一个子群当且仅当H在乘积下为封闭的。(在此一情形下，每一个H的元素a都会产生一个H的有限循环子群，且a的逆元素会是a−1 = an − 1，其中n为a的目。)
上述的条件可以用同态来叙述；亦即，H为群G的子群当且仅当H为G的子集且存在一个由H映射到G的内含同态(即对每个a，i(a) = a)。
子群的单位元亦是群的单位元：若G是个有单位元素eG的群，且H为具有单位元素eH之G的子群，则eH = eG。
一个子群内的一元素之逆元素为群内的此元素的逆元素：若H是群G的子群，且a和b为会使得ab=ba=eH之H内的元素，则ab = ba = eG。
子群A和B的交集亦为一个子群。但其联集亦为一个子群当且仅当A或B包含着另外一个，像是2和3是在2Z与3Z的联集中，但其总和5则不是。
若S是G的子集，则存在一个包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集来找出；此一最小子群被标记为且称为由S产生的子群。G内的一个元素在内当且仅当其为S内之元素的有限乘积且其逆元。
群G内的每一个元素a都会产生一个循环子群。若同构于某一正整数n之Z/nZ，则n会是最小个会使得an = e的正整数，且n被称为是a的“目”。若同构于Z，则a会被称有“无限目”。
任一给定的群之子群都会形成一个在内含下的完全格，称之为子群格。(其最大下界为一般的集合论交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合论联集“所产生”的子群。)若e为G的单位元素，则其当然群{e}会是群G的最小子群，而其最大子群则会是群G本身。
