Question

钝角AOB中任意一点P，在OA,OB上分别找一点M,N。使三角形MNP周长最小？

Answer 1

没有周长最小的三角形。

作E对称P于OA，作F对称P于OB，连结EF，EM,FN

因为是钝角三角形，连结OE,OF

则∠EOA=∠POA，∠FOB=∠POB

∠EOF=2π-∠AOB-∠EOA-∠FOB=2π-2∠AOB

∠AOB为钝角，则∠EOF＜π

所以EF连线在三角形外侧。

三角形周长S=PM+MN+PN=EM+MN+NF

延长EO交PN于Q，连结EN

则EM+MN＞EN，EN+NQ＞EQ=EO+OQ

OQ+QF＞FO

EM+MN+PN=EM+MN+NQ+FQ＞EN+NQ+FQ＞EO+OQ+FQ＞EO+FO

而E,F是定点，就是说MN越靠近直线EF，周长最小，最小的范围为M，N两点均无限接近O点，此时MN→0，S→EO+OF

但是M.N必须与P点构成三角形，所以M,N不能重合。故不能找到使三角形周长最小的M、N点

Answer 2

如图，过P点分别作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，连接MN

则△PMN的周长最小。

理由是：点到直线的距离最短，所以形成的三角形的周长就最小。