十字相乘法是怎样分解因式的?

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仇宏毅Bf
2022-07-22
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十字相乘法
十字相乘法是因式分解中十四种方法之一,另外十三种分别都是:1.提公因式法 2.公式法 3.双十字相乘法 4.轮换对称法 5.拆添项法 6.配方法7.因式定理法 8.换元法 9.综合除法 10.主元法 11.特殊值法 12.待定系数法 13.二次多项式。
十字分解法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。[1]
十字分解法能用于二次三项式(一元二次式)的分解因式(不一定是整数范围内)。对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说,这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积,并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会,它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号。基本式子:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
中文名
十字相乘法
外文名
Cross multiplication
别名
十字相乘
表达式
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
适用领域
因式分解题目,数学
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判定运算举例分解因式例题解析重难点注意事项
原理
一个集合中的个体,只有2个不同的取值,部分个体取值为A,剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S, A所占的数量为M,B为S-M。
则:[A*M+B*(S-M)]/S=C
M/S=(C-B)/(A-B)
1-M/S=(A-C)/(A-B)
因此:M/S∶(1-M/S)=(C-B)∶(A-C)
上面的计算过程可以抽象为:
A ^C-B
^C
B^ A-C
这就是所谓的十字分解法。X增加,平均数C向A偏,A-C(每个A给B的值)变小,C-B(每个B获得的值)变大,两者如上相除=每个B得到几个A给的值。
判定
对于形如ax2+bx+c的多项式,在判定它能否使用十字分解法分解因式时,可以使用Δ=b2-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时,可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。
运算举例
例1:a2+a-42
首先,我们看看第一个数,是a2,代表是两个a相乘得到的,则推断出(a+?)×(a-?),
然后我们再看第二项,+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果,所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ,-42是-6×7 或者6×(-7)也可以分解成 -21×2 或者21×(-2)或者±3×±14。
首先,21和2无论正负,通过任意加减后都不可能是1,只可能是7或者6,所以排除前者。
然后,再确定是-7×6还是7×(-6)。
﹣7﹢6=﹣1,7﹣6=1,因为一次项系数为1,所以确定是7×﹣6。
所以a2+a-42就被分解成为(a+7)×(a-6),这就是通俗的十字分解法分解因式。
具体应用
双十字分解法是一种因式分解方法。对于型如 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解,常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题,若采用“双十字分解法”(主元法),就能很容易将此类型的多项式分解因式。
例2:3x2+5xy-2y2+x+9y-4=(x+2y-1)(3x-y+4)
因为3=1×3,-2=2×(-1),-4=(-1)×4,
而1×(-1)+3×2=5,2×4+(-1)(-1)=9,1×4+3×(-1)=1
要诀:把缺少的一项当作系数为0,0乘任何数得0,
例3:ab+b2+a-b-2
=0×1×a2+ab+b2+a-b-2
=(0×a+b+1)(a+b-2)
=(b+1)(a+b-2)
提示:设x2=y,用拆项法把cx2拆成mx2与ny之和。
例4:2x^4+13x^3+20x2+11x+2
=2y2+13xy+15x2+5y+11x+2
=(2y+3x+1)(y+5x+2)
=(2x2+3x+1)(x2+5x+2)
=(x+1)(2x+1)(x2+5x+2)
分解二次三项式时,我们常用十字分解法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字分解法分解因式。
例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),
可以看作是关于x的二次三项式.
对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字分解法,分解为

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).
再利用十字分解法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]
=(x+2y-3)(2x-11y+1).
(x+2y)(2x-11y)=2x^2-7xy-22y^2;
(x-3)(2x+1)=2x^2-5x-3;
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.
这就是所谓的双十字分解法.也是俗称的“主元法”
用双十字分解法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:
⑴用十字分解法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);
⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.
我们把形如anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如
f(x)=x2-3x+2,g(x)=x^5+x2+6,…,
当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)
f(1)=12-3×1+2=0;
f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12.
若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)至少有一个因式x-a.
根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根。
分解因式
例1、因式分解。
x2-x-56
分析:因为7x + (-8x) =-x
解:原式=(x+7)(x-8)
例2、因式分解。
x2-10x+16
分析:因为-2x+(-8x)=-10x
解:原式=(x-2)(x-8)
例3、因式分解。
6y2+19y+15
分析:该题虽然二次项系数不为1,但也可以用十字分解法进行因式分解。
因为
9y + 10y=19y
解:原式=(2y+3)(3y+5)
例4、 因式分解。
14x2+3x-27
分析:因为
21x+(-18x)=3x
解:原式=(2x+3)(7x-9)
例5、 因式分解。
10(x+2)2-29(x+2)+10
分析:该题可以将(x+2)看作一个整体来进行因式分解。
因为
-25(x+2)+[-4(x+2)]= -29(x+2)
解:原式=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]
=(2x-1)(5x+8)
例题解析
例1
把2x2-7x+3分解因式.
分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分
别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同!):
2=1×2=2×1;
分解常数项:
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
1 3

2 1
1×1+2×3=7 ≠-7
1 1

2 3
1×3+2×1=5 ≠-7
1 -1

2 -3
1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7
1 -3

2 -1
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7。
例2
解 2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)
通常地,对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下:
a1 c1

a2 c2
a1c2 + a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即
ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字分解法.
例3
把5x2+6xy-8y2分解因式.
分析:这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即
1 2

5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y).
指出:原式分解为两个关于x,y的一次式。
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解。
问:以上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答:第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字分解法分解因式了。
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)2-3(x-y)-2
1 -2

2 1
1×1+2×(-2)=-3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出:将元x、y换成(x+y),以(x+y)为元,这就是“换元法”。
重难点
难点:灵活运用十字分解法分解因式。因为并不是所有二次多项式都可以用十字相乘法分解因式。
重点:正确地运用十字分解法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式。
注意事项
第一点:用来解决两者之间的比例问题。
第二点:得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点:总均值放中央,对角线上,大数减小数,结果放在对角线上。 
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