Question

不定积分怎么积呢？

Answer 1

解题过程如下图所示：

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F，即F ′ = f。 不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

不定积分的公式：

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。

Answer 2

解：分享一种较简洁的解法。被积函数中含有(sinx)^3，直接用sin3x=-4(sinx)^3+3sinx，将被积函数变成x[3sinx-sin3x)/4。∴原式=∫x[3sinx-sin3x)/4dx=(3/4)∫xd(-cosx)+(1/12)∫xd(cos3x)=(x/12)(cos3x-9cosx)+(3/4)sinx+(1/36)sin3x+C。