Question

极限如何表示为定积分？

Answer 1

原式=lim(n→∞)∑k/√(n^4+k^4)，k=1,2，……,n。
∴原式=lim(n→∞)∑(1/n)(k/n)/√[1+(k/n)^4]。
按照定积分的定义，原式=∫(0,1)xdx/√(1+x^4)。

Answer 2

根据定积分的定义 ∫(a,b) f(x)dx=lim(n->∞) (1/n)*∑(k=1->n)f(k/n)

Answer 3

1/√(n^4+1^4) +2/√(n^4+2^4)+....+n/√(n^4+n^4)
分子分母同时除n
=(1/n)/√(n^2+1^4/n^2) +(2/n)/√(n^2+2^4/n^2)+....+(n/n)/√(n^2+n^4/n^2)
抽出共同因子n
=(1/n)[ (1/n)/√(1+(1/n)^4) +(2/n)/√(1+(2/n)^4)+....+(n/n)/√(1+(n/n)^4) ]
得出
f(x) = x/√(1+x^4)
lim(n->无穷 ) (1/n) ∑(i:1->n) (i/n)/√(1+(i/n)^4)
利用定积分定义
=∫(0->1) x/√(1+x^4) dx
=(1/2)∫(0->π/4) (secu)^2du/(secu)
=(1/2)∫(0->π/4) secudu
=(1/2)[ln|secu +tanu|]|(0->π/4)
=(1/2)ln(√2+1)
令
x^2= tanu
2x dx = (secu)^2 du
x=0, u=0
x=1, u=π/4