Question

两个向量相乘的几何意义是什么？（点乘、内积）

Answer 1

两向量相乘可以表示为如下形式：

            

其中， 为向量   和向量   之间的夹角。

上式右边的意思为，一个向量在另一个向量方向上的射影乘以另一个向量的长度。

即，

当 为单位向量时，两向量的点积为，向量 在向量 方向上 “贡献” 长度的多少；

in general，

两向量相乘的几何意义可以理解为：

在以 为单位长度时，向量 在向量 方向上的贡献长度；

或在以 为单位长度时，向量 在向量 方向上贡献的长度。

另外，如果当两个向量长度相等，或者将两个向量 化为其所在方向的单位向量（如： ， ）时，两个向量的点积得到的结果为两向量的夹角 ，可以通过这个夹角的大小来判断两个向量的相似性。即，当两个向量为单位向量时，它们点积的几何意义也可以理解为他们的相似性（越大越相似，越小越不相似。这个原理常被用于判断文本的相似性）。