Question

设X1,X2,…Xn为总体X~U[a,b]的样本,试求：X（1）的密度函数;X(n)的密度函数.

Answer 1

已知是均匀分布,立刻能写出每一个Xi的密度函数都是 f(x)＝1/(b－a) a＜Xi＜b
那么它们的分布函数也能写出 ：
当Xi＜a时,F(x)＝0
当a＜Xi＜b时,F(x)＝∫ f(t)dt ＝(x－a)/(b－a)
当Xi＞b时,F(x)＝1
X(1)就是 min { X1,X2...Xn}； X(n)就是 max { X1,X2...Xn},
在概率论里面,min和max的密度,都是有公式的：
对于Z＝min { X1,X2...Xn},其分布函数为 H(z)＝1－[1－F(z)]^n
求导,得其密度函数为 h(z)＝n[1－F(z)]^(n－1) ·f(z) ,把 F 和 f 代入就行了
对于Z＝max { X1,X2...Xn},其分布函数为 H(z)＝[F(z)]^n
求导,得其密度函数为 h(z)＝n[F(z)]^(n－1) ·f(z) ,把 F 和 f 代入就行了