Question

必须是0到x的定积分求导才是定积分里面的那个式子吗

Answer 1

必须是0到x的定积分求导才是定积分里面的那个式子。

定积分看成F(x)-F(0)理解，导数＝F'(x)＝f(ax)。求定积分从本质上讲求函数的原函数，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积）。

因为 ∫ <下0, 上x> f'(t)dt = [f(t)]<下0, 上x> = f(x) - f(0), 故应写为：f(x) = ln[x+√(1+x^2)] = ∫ <下0, 上x>{ln[t+√(1+t^2)]}'dt + f(0) ，此处因本题 f(0) = 0， 所以原式成立。

定积分

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。