Question

求矩阵A=(011 101 110)的特征值和特征向量

Answer 1

设矩阵A的特征值为λ，
那么行列式
|A-λE|=
-λ 1 1
1 -λ 1
1 1 -λ r1+r2,r1+r3,r3-r2
=
-λ+2 -λ+2 -λ+2
1 -λ 1
0 1+λ -λ-1 c2+c3
=
-λ+2 -2λ+4 -λ+2
1 -λ+1 1
0 0 -λ-1 按照第3行展开
=(-λ-1)(λ^2-λ-2)=(-λ-1)(λ+1)(λ-2)=0
于是解得特征值λ=2，-1，-1
当λ=2
A-2E=
-2 1 1
1 -2 1
1 1 -2 r1+r2,r1+r3,r3-r2
~
0 0 0
1 -2 1
0 3 -3 r3/3,r2+2r3，交换行次序
~
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
得到特征向量(1,1,1)^T
当λ= -1
A+E=
-1 1 0
1 -2 1
0 1 -1 第1行加上第2行，第2行加上第3行*2
~
0 -1 1
1 0 -1
0 1 -1 第1行加上第3行，交换行次序
~
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
得到特征向量(1,1,1)^T
当λ= -1
A+E=
1 1 1
1 1 1
1 1 1 r2-r1,r3-r1
~
1 1 1
0 0 0
0 0 0
得到特征向量(-1,0,1)^T和(0,-1,1)^T
所以特征值λ=2，-1，-1
其对应的特征向量分别为(1,1,1)^T，(-1,0,1)^T，(0,-1,1)^T

Answer 2

设矩阵A的特征值为λ,
那么行列式
|A-λE|=
1-λ 1 0
1 -λ 1
0 1 1-λ 第1行减去第3行
=
1-λ 0 λ-1
1 -λ 1
0 1 1-λ 第3列加上第1列
=
1-λ 0 0
1 -λ 2
0 1 1-λ 按第1行展开
=
(1-λ)(λ^2-λ-2)=(1-λ)(λ-2)(λ+1)=0
所以特征值λ=1,2,-1
当λ=1
A-E=
0 1 0
1 -1 1
0 1 0 第2行加上第1行,第3行减去第1行,交换第1第2行
1 0 1
0 1 0
0 0 0
得到特征向量(1,0,-1)^T
当λ=2
A-2E=
-1 1 0
1 -2 1
0 1 -1 第1行加上第2行,第2行加上第3行*2
0 -1 1
1 0 -1
0 1 -1 第1行加上第3行,交换行次序
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
得到特征向量(1,1,1)^T
当λ= -1
A+E=
2 1 0
1 1 1
0 1 2 第1行减去第2行*2,第2行减去第3行
0 -1 -2
1 0 -1
0 1 2 第1行加上第3行,交换行次序
1 0 -1
0 1 2
0 0 0
得到特征向量(1,-2,1)^T
所以
特征值λ=1,2,-1
其对应的特征向量分别为(1,0,-1)^T,(1,1,1)^T,(1,-2,1)^T