简述中国数学发展史上三个高峰时期,并谈谈中国古代数学的特色与局限.
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中国数学发展的高峰
唐朝亡后,五代十国仍是军阀混战的继续,直到北宋王朝统一了中国,农业、手工业、商业迅速繁荣,科学技术突飞猛进.从公元十一世纪到十四世纪﹝宋、元两代﹞,筹算数学达到极盛,是中国古代数学空前繁荣,硕果累累的全盛时期.这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作,列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》﹝11世纪中叶﹞,刘益的《议古根源》﹝12世纪中叶﹞,秦九韶的《数书九章》﹝1247﹞,李冶的《测圆海镜》﹝1248﹞和《益古演段》﹝1259﹞,杨辉的《详解九章算法》﹝1261﹞、《日用算法》﹝1262﹞和《杨辉算法》﹝1274-1275﹞,朱世杰的《算学启蒙》﹝1299﹞和《四元玉鉴》﹝1303﹞等等.宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学,也是当时世界数学的巅峰.其中主要的工作有：
公元1050年左右,北宋贾宪（生卒年代不详）在《黄帝九章算法细草》中创造了开任意高次幂的“增乘开方法”,公元1819年英国人霍纳（william george horner）才得出同样的方法.贾宪还列出了二项式定理系数表,欧洲到十七世纪才出现类似的“巴斯加三角”.（《黄帝九章算法细草》已佚）
公元1088—1095年间,北宋沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积等生产实践问题提出了“隙积术”,开始对高阶等差级数的求和进行研究,并创立了正确的求和公式.沈括还提出“会圆术”,得出了我国古代数学史上第一个求弧长的近似公式.他还运用运筹思想分析和研究了后勤供粮与运兵进退的关系等问题.
公元1247年,南宋秦九韶在《数书九章》中推广了增乘开方法,叙述了高次方程的数值解法,他列举了二十多个来自实践的高次方程的解法,最高为十次方程.欧洲到十六世纪意大利人菲尔洛（scipio del ferro）才提出三次方程的解法.秦九韶还系统地研究了一次同余式理论.
公元1248年,李冶（李治,公元1192一1279年）著的《测圆海镜》是第一部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作,这在数学史上是一项杰出的成果.在《测圆海镜?序》中,李冶批判了轻视科学实践,以数学为“九九贱技”、“玩物丧志”等谬论.
公元1261年,南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和.公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”,介绍了筹算乘除的各种运算法.公元1280年,元代王恂、郭守敬等制订《授时历》时,列出了三次差的内插公式.郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式.
公元1303年,元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》,他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法,欧洲到公元1775年法国人别朱（etienne bezout）才提出同样的解法.朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究,在此基础上得出了高次差的内插公式,欧洲到公元1670年英国人格里高利（james gregory)和公元1676一1678年间牛顿（issac newton）才提出内插法的一般公式.
公元十四世纪我国人民已使用珠算盘.在现代计算机出现之前,珠算盘是世界上简便而有效的计算工具.
中国数学的特点与局限
（1）以算法为中心,属于应用数学.中国数学不脱离社会生活与生产的实际,以解决实际问题为目标,数学研究是围绕建立算法与提高计算技术而展开的.
（2）具有较强的社会性.中国传统数学文化中,数学被儒学家培养人的道德与技能的基本知识---六艺（礼、乐、射、御、书、数）之一,它的作用在于“通神明、顺性命,经世务、类万物”,所以中国传统数学总是被打上中国哲学与古代学术思想的烙印,往往与术数交织在一起.同时,数学教育与研究往往被封建政府所控制,唐宋时代的数学教育与科举制度、历代数学家往往是政府的天文官员,这些事例充分反映了这一性质.
（3）寓理于算,理论高度概括.由于中国传统数学注重解决实际问题,而且因中国人综合、归纳思维的决定,所以中国传统数学不关心数学理论的形式化,但这并不意味中国传统仅停留在经验层次而无理论建树.其实中国数学的算法中蕴涵着建立这些算法的理论基础,中国数学家习惯把数学概念与方法建立在少数几个不证自明、形象直观的数学原理之上,如代数中的“率”的理论,平面几何中的“出入相补”原理,立体几何中的“阳马术”、曲面体理论中的“截面原理”（或称刘祖原理,即卡瓦列利原理）等等.
中国数学对世界的影响
数学活动有两项基本工作----证明与计算,前者是由于接受了公理化（演绎化）数学文化传统,后者是由于接受了机械化（算法化）数学文化传统.在世界数学文化传统中,以欧几里得《几何原本》为代表的希腊数学,无疑是西方演绎数学传统的基础,而以《九章算术》为代表的中国数学无疑是东方算法化数学传统的基础,它们东西辉映,共同促进了世界数学文化的发展.
中国数学通过丝绸之路传播到印度、阿拉伯地区,后来经阿拉伯人传入西方.而且在汉字文化圈内,一直影响着日本、朝鲜半岛、越南等亚洲国家的数学发展.
唐朝亡后,五代十国仍是军阀混战的继续,直到北宋王朝统一了中国,农业、手工业、商业迅速繁荣,科学技术突飞猛进.从公元十一世纪到十四世纪﹝宋、元两代﹞,筹算数学达到极盛,是中国古代数学空前繁荣,硕果累累的全盛时期.这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作,列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》﹝11世纪中叶﹞,刘益的《议古根源》﹝12世纪中叶﹞,秦九韶的《数书九章》﹝1247﹞,李冶的《测圆海镜》﹝1248﹞和《益古演段》﹝1259﹞,杨辉的《详解九章算法》﹝1261﹞、《日用算法》﹝1262﹞和《杨辉算法》﹝1274-1275﹞,朱世杰的《算学启蒙》﹝1299﹞和《四元玉鉴》﹝1303﹞等等.宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学,也是当时世界数学的巅峰.其中主要的工作有：
公元1050年左右,北宋贾宪（生卒年代不详）在《黄帝九章算法细草》中创造了开任意高次幂的“增乘开方法”,公元1819年英国人霍纳（william george horner）才得出同样的方法.贾宪还列出了二项式定理系数表,欧洲到十七世纪才出现类似的“巴斯加三角”.（《黄帝九章算法细草》已佚）
公元1088—1095年间,北宋沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积等生产实践问题提出了“隙积术”,开始对高阶等差级数的求和进行研究,并创立了正确的求和公式.沈括还提出“会圆术”,得出了我国古代数学史上第一个求弧长的近似公式.他还运用运筹思想分析和研究了后勤供粮与运兵进退的关系等问题.
公元1247年,南宋秦九韶在《数书九章》中推广了增乘开方法,叙述了高次方程的数值解法,他列举了二十多个来自实践的高次方程的解法,最高为十次方程.欧洲到十六世纪意大利人菲尔洛（scipio del ferro）才提出三次方程的解法.秦九韶还系统地研究了一次同余式理论.
公元1248年,李冶（李治,公元1192一1279年）著的《测圆海镜》是第一部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作,这在数学史上是一项杰出的成果.在《测圆海镜?序》中,李冶批判了轻视科学实践,以数学为“九九贱技”、“玩物丧志”等谬论.
公元1261年,南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和.公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”,介绍了筹算乘除的各种运算法.公元1280年,元代王恂、郭守敬等制订《授时历》时,列出了三次差的内插公式.郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式.
公元1303年,元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》,他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法,欧洲到公元1775年法国人别朱（etienne bezout）才提出同样的解法.朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究,在此基础上得出了高次差的内插公式,欧洲到公元1670年英国人格里高利（james gregory)和公元1676一1678年间牛顿（issac newton）才提出内插法的一般公式.
公元十四世纪我国人民已使用珠算盘.在现代计算机出现之前,珠算盘是世界上简便而有效的计算工具.
中国数学的特点与局限
（1）以算法为中心,属于应用数学.中国数学不脱离社会生活与生产的实际,以解决实际问题为目标,数学研究是围绕建立算法与提高计算技术而展开的.
（2）具有较强的社会性.中国传统数学文化中,数学被儒学家培养人的道德与技能的基本知识---六艺（礼、乐、射、御、书、数）之一,它的作用在于“通神明、顺性命,经世务、类万物”,所以中国传统数学总是被打上中国哲学与古代学术思想的烙印,往往与术数交织在一起.同时,数学教育与研究往往被封建政府所控制,唐宋时代的数学教育与科举制度、历代数学家往往是政府的天文官员,这些事例充分反映了这一性质.
（3）寓理于算,理论高度概括.由于中国传统数学注重解决实际问题,而且因中国人综合、归纳思维的决定,所以中国传统数学不关心数学理论的形式化,但这并不意味中国传统仅停留在经验层次而无理论建树.其实中国数学的算法中蕴涵着建立这些算法的理论基础,中国数学家习惯把数学概念与方法建立在少数几个不证自明、形象直观的数学原理之上,如代数中的“率”的理论,平面几何中的“出入相补”原理,立体几何中的“阳马术”、曲面体理论中的“截面原理”（或称刘祖原理,即卡瓦列利原理）等等.
中国数学对世界的影响
数学活动有两项基本工作----证明与计算,前者是由于接受了公理化（演绎化）数学文化传统,后者是由于接受了机械化（算法化）数学文化传统.在世界数学文化传统中,以欧几里得《几何原本》为代表的希腊数学,无疑是西方演绎数学传统的基础,而以《九章算术》为代表的中国数学无疑是东方算法化数学传统的基础,它们东西辉映,共同促进了世界数学文化的发展.
中国数学通过丝绸之路传播到印度、阿拉伯地区,后来经阿拉伯人传入西方.而且在汉字文化圈内,一直影响着日本、朝鲜半岛、越南等亚洲国家的数学发展.
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