Question

矩阵分析（二）极大线性无关组

Answer 1

设 是 上的线性空间， 和 是 中的两个向量组，

设 是 上的线性空间， ; ; 是 中三个向量组。若

则

证明 ：利用线性表示关系的矩阵表达即可。由条件知，存在 满足

得 。由于 得证。

扁（列>行) 的齐次线性方程组必有非零解。（未知数个数大于方程个数）
设 , ，则齐次线性方程组 必有非零解

这里， ，也就是方程的个数少于未知数的个数（不定方程），系数矩阵呈扁形。

证明： 对m用数学归纳法

设 是 上的线性空间， 和 是 中的两个向量组。若 线性无关， ，则

证明： 用反证法，假设 ，则由线性表示关系的矩阵表达可知，存在矩阵 ，使得

因为扁的齐次方程组必有非零解，所以存在 非零，使得 。上述等式两边右乘 得

因为 非零，此结论与 线性无关矛盾，证毕

与 是线性空间 中的两个向量组。若：

则 线性相关

一组线性无关的向量，且可以唯一表示空间中的任意一个向量。
极大线性无关组所含向量个数是唯一的。