Question

数学问题

已知集合A=｛x | log3（x²-2x-15）＞2｝，B=｛x | x²-2ax-3a²≤0｝，A∩B≠空集，求实数a的取值范围？
设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，bn=1/Sn，a3b3=1/2，S3+S5=21.
（1）求bn
（2）求数列｛bn｝的前n项和Tn
麻烦过程写得详细点

Answer 1

1.不等式log3（x²-2x-15）＞2 可化为：x²-2x-15>9 即x²-2x-24>0
解得：x>6或者x<-4
所以A={x|x>6或者x<-4}
不等式x²-2ax-3a²≤0 可化为：(x-3a)(x+a)≤0
分两种情况：
（1）当a>0时，(x-3a)(x+a)≤0的解为：-a≤x≤3a
因为A∩B≠空集,则 -a<-4或3a>6 （你可以画个数轴，标出A、B的范围，好理解一些）
所以 a>4或a>2，取a>2
（2）当a<0时，(x-3a)(x+a)≤0的解为：3a≤x≤-a
因为A∩B≠空集,则 3a<-4或-a>6
所以 a<-4/3或a>-6,取a>-4/3
所以实数a的取值范围是:a>2或a<-4/3

2.因为bn=1/Sn ,所以 a3b3=a3/S3=1/2 故S3=2a3
所以S3=a1+a2+a3=2a3 ，即a1+a2=a3 而a1+a3=2a2 .....等差中项的性质
所以a3=3a1
S3+S5=2a3+(a1+a2+a3+a4+a5)=2a3+5a3=7a3=21 (因为a1+a5=a2+a4=2a3）
所以a3=3 ,a1=a3/3=1 ,公差d=(a3-a1)/2=1 ,通项an=n
所以Sn=n(n+1)/2
所以bn=1/Sn=2/n(n+1) .......为了后边好计算前n项和,可以化为bn=2[1/n - 1/(n+1)]
数列｛bn｝的前n项和:
Tn=b1+b2+b3+...+bn
=2(1 - 1/2) + 2(1/2 - 1/3) + 2(1/3 - 1/4) + ... + 2[1/n - 1/(n+1)]
=2[1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 -1/4 + ... +1/n - 1/(n+1)]
=2[1 - 1/(n+1)]

Answer 2