Question

二阶常系数线性微分方程

Answer 1

二阶常系数线性微分方程一般形式y'' +p y' + qy = f(x)①

(下面用到r1、r2、y1、y2、C1、C2)

一、二阶常系数齐次线性方程

其一般形式y'' + py' + qy = 0  ②

即①式中的f(x) = 0，求该式通解，直接运用定理得知②的通解：y = C1y1(x) + C2y2(x)

接着只需求解出y1(x)和y2(x)的解就ok了。

可以将②式写成 (也可理解将y的n次导看成r的n次方)（r^2 + p*r + q）e^rx = 0  => （r^2 + p*r + q） = 0】③，接着就是求解方程③(称为特征方程)的根r1、r2，

该特征方程求根可以分成三种情况去讨论：

1.p^2 - 4q > 0 ，③式有两个不相等的根r1、r2，即y = C1*e^r1x + C2*e^r2x 

2.p^2 - 4q = 0 ，③式有两个相等的根r,即y = C1*e^rx + C2*xe^rx 

3.p^2 - 4q < 0 ，③式有一对共轭复根(无实数根),即y=e^αx (C1*cosβx + C2*sinβx)

其中α = -(b/2a) ,β = (√-△) / 2a  .】 (注: a,b为特征方程项系数 ,△为p^2 - 4q)

二、二阶常系数非齐次线性方程

其一般形式y'' +p y' + qy = f(x)     即f(x) ≠0

该方程的通解为y = Y(x) + y* (Y(x) 为②式,即齐次方程的通解;y*为 ①式的特解)

第一步，求②式(齐次方程)通解，(参照上面一的方法)

第二步，求①式特解。根据①式根据f(x)类型分成两种求解方式 :1.f(x) = P(x) * e^(λx)

特解: y* = x^k * Pm(x) * e^λx】④(Pm(x) 为与P(x)同次的多项式，k是根据λ 不是③式的根(特征根)、单根、重复根依次取值为0,1,2)

2.f(x) = e^λx * [ Pl(x)cosωx + Qn(x)sinωx]               

特解: y* = x^k * eλx [Pl(x)cosω+Ql(x)sinωx]】  ⑤

( l=max(l,n),k是根据λ+iω不是③式的根(特征根)、单根依次取值为0,1 ; i是虚数)

最后将特解带入原方程式①中，即可解得Pm(x)的具体方程式 。y = Y(x) + y* 就求出来了。