分母正负x公因式法怎么算
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大家好，小明来为大家解答以上问题很多人还不知道，。因式分解公式大全及讲解，因式分解公式现在让我们一起来看看吧！
十二种因式分解方法将一个多项式转化为几个代数表达式的乘积。这种变形叫做这个多项式的因式分解。因式分解有多种方法，总结如下：
因式分解有以下12种方法：1。如果一个多项式的所有项都包含一个公因子，那么可以提出这个公因子，从而将多项式转化为两个因子乘积的形式。例1。因式分解x -2x -x(2003年淮安中学考试)x -2x -x=x(x -2x-1) 2。公式法的应用由于
方法公因子法如果多项式的每一项都包含一个公因子，则可以提出公因子，多项式可以转化为两个因子的乘积。
1.几个多项式的每一项所包含的公因数称为这个多项式的每一项的公因数。如果多项式的每一项都有一个公因子，就可以提出这个公因子，从而将多项式转化为两个因子乘积的形式。这种因式分解的方法叫做公因式提升法。具体方法：当所有系数都
1.分解因子x -2x -x(2003年淮安中学考试)
将一个多项式转化为几个最简单的代数表达式的乘积称为因式分解(也叫因式分解)。它是中学数学中最重要的恒等式变换之一。它在初等数学中应用广泛，是我们解决许多数学问题的有力工具。阶乘分解法灵活而巧妙。学习这些方法。
x -2x -x=x(x -2x-1)
(1)公因式的提升方法(1)公因式：每一项所包含的公因式称为本多项式中每一项的公因式。公因式的提升方法：一般来说，如果一个多项式的每一项都有一个公因式，那么可以把这个公因式提升到括号之外，把多项式写成因式乘积的形式。这种分解因素的方法称为提高公因子法。am+bm+cm=m
公式法的应用由于因式分解和代数表达式乘法互逆，如果乘法公式反过来，就可以用来因式分解某些多项式。
因式分解的六种常用方法解释多项式因式分解是代数常数变形的基本形式之一。它在初等数学中应用广泛，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法和技巧不仅是掌握因式分解的内容所必需的，而且对于
2.分解因子a 4ab 4b (2003南通中学考试)
2015年9月总结了最完整的因式分解方法。一、因式分解的概念和原理1。定义：一个多项式转化为几个最简单的代数表达式的乘积。这种恒等式变换叫因式分解，也叫因式分解。2.原则：(1)分解必须彻底(即分解后的因素不能再分解)；(2)
a 4ab 4b=(a 2b)
1.如果没有常数项，把x放上去，就成了二次多项式。2.看看能不能用公式：x1 x2 x3=-d/a；X1 X2 X1 X3 X2 X3=c/a；X1 X2 X3=-b/a .3.对于ax^3 bx^2 cx d(对于x因式分解)，先求a和d的因子，比如p是a的因子，比如q是d的因子，把x=q/p带入原公式，如果
分组法是将多项式am an bm bn分解成因子，可先将其前两项分成一组，并提出公因子A，再将其后两项分成一组，并提出公因子B，从而得到a(m n) b(m n)，同时也提出公因子m n，从而得到(a b)(m n)
1.如果没有常数项，把x放上去，就成了二次多项式。2.看看能不能用公式：x1 x2 x3=-d/a；X1 X2 X1 X3 X2 X3=c/a；X1 X2 X3=-b/a .3.对于ax^3 bx^2 cx d(对于x因式分解)，先求a和d的因子，比如p是a的因子，比如q是d的因子，把x=q/p带入原公式，如果
实施例3，分解因子m 5n-mn-5m
十二种因式分解方法将一个多项式转化为几个代数表达式的乘积。这种变形叫做这个多项式的因式分解。因式分解的方法有很多种，归纳起来有以下几种：1。如果一个多项式的所有项都包含一个公因子，那么可以提出这个公因子，多项式就可以化为两个因子。
m 5n-mn-5m=m -5m -mn 5n
1.阶乘分解是和差积，最后的结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定的是，如果一个多项式可以分解因子，那么结果将是唯一的，因为：数域f中次数大于零的多项式f(x)，如果不考虑零阶因子的差异，那么f(x)可以唯一地分解为如下形式：f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)
=(m -5m ) (-mn 5n)
因式分解公式：平方差公式：(A B) (A-B)=A-B完全平方公式：(A B)=A 2AB。把公式反过来：(A B) (A-B)=A-B
=m(m-5)-n(m-5)
公式如下： 1.(a+b)(a-b)=a的平方减b的平方 2.（a+-b）的平方=a的平方加减2ab加b的平方 3.立方和立方差公式 概念与注意点： 1.把一个多想害死化为几个整式积的形式叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 2.提取的公因式应该为各项系数的最
=(m-5)(m-n)
十字相乘法的具体方法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数. 应用十字相乘法解题的实例: 例1把m²+4m-
十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
因式分解的方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法，剩余定理法等。 [编辑本段]基本方法 ⑴提公因式法 各项都
例4、分解因式7x -19x-6
因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法
分析：1 -3
因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因
7 2
2-21=-19
题目只要求输出自然数N的分解方案数，当N大的时候分解方案数会相当的多，所以为了提高效率，可以不一一枚举所有的分解方案而是运用数学方法计算。 计算方法如下 首先对自然数N做质因数分解(分解成若干个质数的乘积) 设N的质因数分解为N=p1^q1 *
7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
题目只要求输出自然数N的分解方案数，当N大的时候分解方案数会相当的多，所以为了提高效率，可以不一一枚举所有的分解方案而是运用数学方法计算。 计算方法如下 首先对自然数N做质因数分解(分解成若干个质数的乘积) 设N的质因数分解为N=p1^q1 *
配方法
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.
1提公因式法：如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。例15x3+10x2+5x解：原式=5x(x2+2x+1)=5x(x+1
例5、分解因式x +3x-40
多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. 最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
解一元二次方程，各种各样的方式方法，结果都是一样的； 如何选择方法，采用哪种方式手段，也就看各人自己的习惯了； 当然，也肯定要根据实际情况，选择更合理更轻松的方法。 一元二次方程的解法，大概有三四种 直接开平方法； 用于 x"= 4 或者
=(x+ ) -( )
根据题意，分析可得：0=（1-1）×（1+3）=0×4，5=（2-1）×（2+3）=1×5，12=（3-1）×（3+3）=2×6，…故其第n项是（n-1）×（n+3）．∴第100项是：99×103．故答案为：99×103．
=(x+ + )(x+ - )
1、直接开平方法 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)²=n (n≥0)的 方程,其解为x=±√n+m 。 例：解方程(3x+1)²=7 ∵（3x+1)²=7 ∴3x+1=±√7 ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解为x1=﹙√7﹣1﹚/3
=(x+8)(x-5)
数学都是这样的!!!你必须见识不同的题目!!!这样才能给你提供思路!!!以前我有个朋友数学基本都是140以上!!!我问过他!!!他说的是!!多做 多记 多总结
拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.
十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数. 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2,把常数项c分解成两个因数c
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
(1)2ax-10ay+5by-bx =2a(x-5y)-b(x-5y) =(2a-b)(x-5y) (2)分解因式的问题,就如x^2+7x+10=(x+2)(X+5)我的老师称之为十字相乘
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
令y= x +2x -5x-6
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列
a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
利用特殊值法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.
例11、分解因式x +9x +23x+15
令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.
设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
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3次方多项式有什么因式分解的方法，举些例子
1、如果没有常数项，把x提出来，就成2次多项式了
2、看能否用百公式：
X1·X2·X3=-d/a；
X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a；
X1+X2+X3=-b/a。
3、对于ax^3+bx^2+cx+d(对于x因式分解)，先求a,d的因数，比如p是a的因数，比如q是d的因数，把x=q/p带入原式，度如果等于0的话，(x-q/p)就是它的一个因式。
分解知一般步道骤
1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是专正的。
2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；
要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项属法来分解。
参考资料来源：百度百科-因式分解
因式分解的方法是什么
因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反e69da5e6ba90e799bee5baa6e79fa5e9819331333264626531过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
解：a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析： 1 -3
7 2
2-21=-19
解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
解：令y= x +2x -5x-6
作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x +9x +23x+15
解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4）
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/4467572.html?an=0&si=4
因式分解配方和十字相乘法和待定系数法
1.因式分解
即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式：
f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。
（*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53
初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等
要求为：要分到不能再分为止。
2.方法介绍
2.1提公因式法：
如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。
例15x3+10x2+5x
解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。
解：原式=5x(x2+2x+1)
=5x(x+1)2
2.2公式法
即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下：
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2
a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n为奇数)
说明由因式定理，即对一元多项式f(x)，若f(b)=0，则一定含有一次因式x-b。可判断当n为偶数时，当a=b,a=-b时，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。
例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15
解析各小题均可套用公式
解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6)
=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4)
②1+x+x2+…+x15=
=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)
注多项式分解时，先构造公式再分解。
2.3分组分解法
当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。
例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1
解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)
=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)
=(m3+1)(m12+m6++1)
=(m3+1)[(m6+1)2-m6]
=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)
例2分解因式：x4+5x3+15x-9
解析可根据系数特征进行分组
解原式=（x4-9）+5x3+15x
=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)
=(x2+3)(x2+5x-3)
2.4十字相乘法
对于形如ax2+bx+c结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法,
即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)当x2项系数不为1时，同样也可用十字相乘进行操作。
例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12
解①1x2
1x-3
原式=（x+2）(x-3)
②2x-3
3x4
原式=（2x-3）(3x+4)
注：“ax4+bx2+c”型也可考虑此种方法。
2.5双十字相乘法
在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：
（1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图
（2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项
例5分解因式
①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2
③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2
解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3)
2x-3y1
2xy-3
②原式=（x-5y+2）(x+2y-1)
x-5y2
x2y-1
③原式=(b+1)(a+b-2)
0ab1
ab-2
④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z)
2x-3yz
3x-y-2z
说明：③式补上oa2,可用双十字相乘法，当然此题也可用分组分解法。
如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)
④式三个字母满足二次六项式，把-2z2看作常数分解即可：
2.6拆法、添项法
对于一些多项式，如果不能直接因式分解时，可以将其中的某项拆成二项之差或之和。再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯一，可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。
例6分解因式：x3+3x2-4
解析法一：可将-4拆成-1，-3即（x3-1）+(3x2-3)
法二：添x4,再减x4,.即（x4+3x2-4）+(x3-x4)
法三：添4x,再减4x即，（x3+3x2-4x）+(4x-4)
法四：把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+(4x2-4)
法五：把x3拆为，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等
解（选择法四）原式=x3-x2+4x2-4
=x2(x-1)+4(x-1)(x+1)
=(x-1)(x2+4x+4)
=(x-1)(x+2)2
2．7换元法
换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。运用此
种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。
例7分解因式：
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120
解析若将此展开，将十分繁琐，但我们注意到
(x+1)(x+4)=x2+5x+4
(x+2)(x+3)=x2+5x+6
故可用换元法分解此题
解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120
令y=x2+5x+5则原式=(y-1)(y+1)-120
=y2-121
=(y+11)(y-11)
=(x2+5x+16)(x2+5x-6)
=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)
注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y请认真比较体会哪种换法更简单？
2．8待定系数法
待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多项式的恒等性质列出n个含有特殊确定系数的方程(组)，解出这个方程(组)求出待定系数。待定系数法应用广泛,在此只研究它的因式分解中的一些应用。
例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20
分析属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法
先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b)
解设可设原式=(2a-3b+m)(a+3b+n)
=2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn……………
比较两个多项式（即原式与*式）的系数
m+2n=14(1)m=4
3m-3n=-3(2)=>
mn=20(3)n=5
∴原式=（2x-3b+4）(a+3b+5)
注对于（*）式因为对a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n
令a=1,b=0,m+2n=14m=4
=>
令a=0,b=1,m=n=-1n=5
2.9因式定理、综合除法分解因式
对于整系数一元多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
由因式定理可先判断它是否含有一次因式(x-)（其中p，q互质），p为首项系数an的约数，q为末项系数a0的约数
若f（）=0,则一定会有（x-）再用综合除法，将多项式分解
例8分解因式x3-4x2+6x-4
解这是一个整系数一元多项式，因为4的正约数为1、2、4
∴可能出现的因式为x±1,x±2,x±4,
∵f(1)≠0,f(1)≠0
但f(2)=0,故(x-2)是这个多项式的因式，再用综合除法
21-46-4
2-44
1-220
所以原式=(x-2)(x2-2x+2)
当然此题也可拆项分解，如x3-4x2+4x+2x-4
=x(x-2)2+(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2)
分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运e799bee5baa6e79fa5e98193e78988e69d8331333234333366用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，一定要注意各种方法灵活运用，牢固掌握!
因式分解的公式
因式分解公式：7a64e58685e5aeb931333431353363
平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²
完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²
把式子倒过来：
(a+b)(a-b)=a²-b²
a²±2ab+b²=(a±b)²
就变成了因式分解，因此，我们把用利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方法称之为公式法。
例：
1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)
2、p4-1
=(p²+1)(p²-1)
=(p²+1)(p+1)(p-1)
3、x²+14x+49
=x²+2·7·x+7²
=(x+7)²
4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)²
=(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)²
=[(m-2n)+(m+n)]²
=(2m-n)²
扩展资料
注意点：
1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；
要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。
参考资料来源：百度百科-因式分解
因式分解
本文到此结束，希望对大家有所帮助。
十二种因式分解方法将一个多项式转化为几个代数表达式的乘积。这种变形叫做这个多项式的因式分解。因式分解有多种方法，总结如下：
因式分解有以下12种方法：1。如果一个多项式的所有项都包含一个公因子，那么可以提出这个公因子，从而将多项式转化为两个因子乘积的形式。例1。因式分解x -2x -x(2003年淮安中学考试)x -2x -x=x(x -2x-1) 2。公式法的应用由于
方法公因子法如果多项式的每一项都包含一个公因子，则可以提出公因子，多项式可以转化为两个因子的乘积。
1.几个多项式的每一项所包含的公因数称为这个多项式的每一项的公因数。如果多项式的每一项都有一个公因子，就可以提出这个公因子，从而将多项式转化为两个因子乘积的形式。这种因式分解的方法叫做公因式提升法。具体方法：当所有系数都
1.分解因子x -2x -x(2003年淮安中学考试)
将一个多项式转化为几个最简单的代数表达式的乘积称为因式分解(也叫因式分解)。它是中学数学中最重要的恒等式变换之一。它在初等数学中应用广泛，是我们解决许多数学问题的有力工具。阶乘分解法灵活而巧妙。学习这些方法。
x -2x -x=x(x -2x-1)
(1)公因式的提升方法(1)公因式：每一项所包含的公因式称为本多项式中每一项的公因式。公因式的提升方法：一般来说，如果一个多项式的每一项都有一个公因式，那么可以把这个公因式提升到括号之外，把多项式写成因式乘积的形式。这种分解因素的方法称为提高公因子法。am+bm+cm=m
公式法的应用由于因式分解和代数表达式乘法互逆，如果乘法公式反过来，就可以用来因式分解某些多项式。
因式分解的六种常用方法解释多项式因式分解是代数常数变形的基本形式之一。它在初等数学中应用广泛，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法和技巧不仅是掌握因式分解的内容所必需的，而且对于
2.分解因子a 4ab 4b (2003南通中学考试)
2015年9月总结了最完整的因式分解方法。一、因式分解的概念和原理1。定义：一个多项式转化为几个最简单的代数表达式的乘积。这种恒等式变换叫因式分解，也叫因式分解。2.原则：(1)分解必须彻底(即分解后的因素不能再分解)；(2)
a 4ab 4b=(a 2b)
1.如果没有常数项，把x放上去，就成了二次多项式。2.看看能不能用公式：x1 x2 x3=-d/a；X1 X2 X1 X3 X2 X3=c/a；X1 X2 X3=-b/a .3.对于ax^3 bx^2 cx d(对于x因式分解)，先求a和d的因子，比如p是a的因子，比如q是d的因子，把x=q/p带入原公式，如果
分组法是将多项式am an bm bn分解成因子，可先将其前两项分成一组，并提出公因子A，再将其后两项分成一组，并提出公因子B，从而得到a(m n) b(m n)，同时也提出公因子m n，从而得到(a b)(m n)
1.如果没有常数项，把x放上去，就成了二次多项式。2.看看能不能用公式：x1 x2 x3=-d/a；X1 X2 X1 X3 X2 X3=c/a；X1 X2 X3=-b/a .3.对于ax^3 bx^2 cx d(对于x因式分解)，先求a和d的因子，比如p是a的因子，比如q是d的因子，把x=q/p带入原公式，如果
实施例3，分解因子m 5n-mn-5m
十二种因式分解方法将一个多项式转化为几个代数表达式的乘积。这种变形叫做这个多项式的因式分解。因式分解的方法有很多种，归纳起来有以下几种：1。如果一个多项式的所有项都包含一个公因子，那么可以提出这个公因子，多项式就可以化为两个因子。
m 5n-mn-5m=m -5m -mn 5n
1.阶乘分解是和差积，最后的结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定的是，如果一个多项式可以分解因子，那么结果将是唯一的，因为：数域f中次数大于零的多项式f(x)，如果不考虑零阶因子的差异，那么f(x)可以唯一地分解为如下形式：f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)
=(m -5m ) (-mn 5n)
因式分解公式：平方差公式：(A B) (A-B)=A-B完全平方公式：(A B)=A 2AB。把公式反过来：(A B) (A-B)=A-B
=m(m-5)-n(m-5)
公式如下： 1.(a+b)(a-b)=a的平方减b的平方 2.（a+-b）的平方=a的平方加减2ab加b的平方 3.立方和立方差公式 概念与注意点： 1.把一个多想害死化为几个整式积的形式叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 2.提取的公因式应该为各项系数的最
=(m-5)(m-n)
十字相乘法的具体方法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数. 应用十字相乘法解题的实例: 例1把m²+4m-
十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
因式分解的方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法，剩余定理法等。 [编辑本段]基本方法 ⑴提公因式法 各项都
例4、分解因式7x -19x-6
因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法
分析：1 -3
因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因
7 2
2-21=-19
题目只要求输出自然数N的分解方案数，当N大的时候分解方案数会相当的多，所以为了提高效率，可以不一一枚举所有的分解方案而是运用数学方法计算。 计算方法如下 首先对自然数N做质因数分解(分解成若干个质数的乘积) 设N的质因数分解为N=p1^q1 *
7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
题目只要求输出自然数N的分解方案数，当N大的时候分解方案数会相当的多，所以为了提高效率，可以不一一枚举所有的分解方案而是运用数学方法计算。 计算方法如下 首先对自然数N做质因数分解(分解成若干个质数的乘积) 设N的质因数分解为N=p1^q1 *
配方法
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.
1提公因式法：如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。例15x3+10x2+5x解：原式=5x(x2+2x+1)=5x(x+1
例5、分解因式x +3x-40
多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. 最大公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
解一元二次方程，各种各样的方式方法，结果都是一样的； 如何选择方法，采用哪种方式手段，也就看各人自己的习惯了； 当然，也肯定要根据实际情况，选择更合理更轻松的方法。 一元二次方程的解法，大概有三四种 直接开平方法； 用于 x"= 4 或者
=(x+ ) -( )
根据题意，分析可得：0=（1-1）×（1+3）=0×4，5=（2-1）×（2+3）=1×5，12=（3-1）×（3+3）=2×6，…故其第n项是（n-1）×（n+3）．∴第100项是：99×103．故答案为：99×103．
=(x+ + )(x+ - )
1、直接开平方法 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)²=n (n≥0)的 方程,其解为x=±√n+m 。 例：解方程(3x+1)²=7 ∵（3x+1)²=7 ∴3x+1=±√7 ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解为x1=﹙√7﹣1﹚/3
=(x+8)(x-5)
数学都是这样的!!!你必须见识不同的题目!!!这样才能给你提供思路!!!以前我有个朋友数学基本都是140以上!!!我问过他!!!他说的是!!多做 多记 多总结
拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.
十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数. 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2,把常数项c分解成两个因数c
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
(1)2ax-10ay+5by-bx =2a(x-5y)-b(x-5y) =(2a-b)(x-5y) (2)分解因式的问题,就如x^2+7x+10=(x+2)(X+5)我的老师称之为十字相乘
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
令y= x +2x -5x-6
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列
a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
利用特殊值法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.
例11、分解因式x +9x +23x+15
令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.
设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
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3次方多项式有什么因式分解的方法，举些例子
1、如果没有常数项，把x提出来，就成2次多项式了
2、看能否用百公式：
X1·X2·X3=-d/a；
X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a；
X1+X2+X3=-b/a。
3、对于ax^3+bx^2+cx+d(对于x因式分解)，先求a,d的因数，比如p是a的因数，比如q是d的因数，把x=q/p带入原式，度如果等于0的话，(x-q/p)就是它的一个因式。
分解知一般步道骤
1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是专正的。
2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；
要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项属法来分解。
参考资料来源：百度百科-因式分解
因式分解的方法是什么
因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反e69da5e6ba90e799bee5baa6e79fa5e9819331333264626531过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
解：a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析： 1 -3
7 2
2-21=-19
解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
解：令y= x +2x -5x-6
作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x +9x +23x+15
解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4）
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/4467572.html?an=0&si=4
因式分解配方和十字相乘法和待定系数法
1.因式分解
即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式：
f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。
（*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53
初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等
要求为：要分到不能再分为止。
2.方法介绍
2.1提公因式法：
如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。
例15x3+10x2+5x
解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。
解：原式=5x(x2+2x+1)
=5x(x+1)2
2.2公式法
即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下：
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2
a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n为奇数)
说明由因式定理，即对一元多项式f(x)，若f(b)=0，则一定含有一次因式x-b。可判断当n为偶数时，当a=b,a=-b时，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。
例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15
解析各小题均可套用公式
解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6)
=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4)
②1+x+x2+…+x15=
=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)
注多项式分解时，先构造公式再分解。
2.3分组分解法
当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。
例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1
解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)
=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)
=(m3+1)(m12+m6++1)
=(m3+1)[(m6+1)2-m6]
=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)
例2分解因式：x4+5x3+15x-9
解析可根据系数特征进行分组
解原式=（x4-9）+5x3+15x
=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)
=(x2+3)(x2+5x-3)
2.4十字相乘法
对于形如ax2+bx+c结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法,
即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)当x2项系数不为1时，同样也可用十字相乘进行操作。
例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12
解①1x2
1x-3
原式=（x+2）(x-3)
②2x-3
3x4
原式=（2x-3）(3x+4)
注：“ax4+bx2+c”型也可考虑此种方法。
2.5双十字相乘法
在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：
（1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图
（2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项
例5分解因式
①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2
③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2
解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3)
2x-3y1
2xy-3
②原式=（x-5y+2）(x+2y-1)
x-5y2
x2y-1
③原式=(b+1)(a+b-2)
0ab1
ab-2
④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z)
2x-3yz
3x-y-2z
说明：③式补上oa2,可用双十字相乘法，当然此题也可用分组分解法。
如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)
④式三个字母满足二次六项式，把-2z2看作常数分解即可：
2.6拆法、添项法
对于一些多项式，如果不能直接因式分解时，可以将其中的某项拆成二项之差或之和。再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯一，可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。
例6分解因式：x3+3x2-4
解析法一：可将-4拆成-1，-3即（x3-1）+(3x2-3)
法二：添x4,再减x4,.即（x4+3x2-4）+(x3-x4)
法三：添4x,再减4x即，（x3+3x2-4x）+(4x-4)
法四：把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+(4x2-4)
法五：把x3拆为，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等
解（选择法四）原式=x3-x2+4x2-4
=x2(x-1)+4(x-1)(x+1)
=(x-1)(x2+4x+4)
=(x-1)(x+2)2
2．7换元法
换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。运用此
种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。
例7分解因式：
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120
解析若将此展开，将十分繁琐，但我们注意到
(x+1)(x+4)=x2+5x+4
(x+2)(x+3)=x2+5x+6
故可用换元法分解此题
解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120
令y=x2+5x+5则原式=(y-1)(y+1)-120
=y2-121
=(y+11)(y-11)
=(x2+5x+16)(x2+5x-6)
=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)
注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y请认真比较体会哪种换法更简单？
2．8待定系数法
待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多项式的恒等性质列出n个含有特殊确定系数的方程(组)，解出这个方程(组)求出待定系数。待定系数法应用广泛,在此只研究它的因式分解中的一些应用。
例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20
分析属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法
先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b)
解设可设原式=(2a-3b+m)(a+3b+n)
=2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn……………
比较两个多项式（即原式与*式）的系数
m+2n=14(1)m=4
3m-3n=-3(2)=>
mn=20(3)n=5
∴原式=（2x-3b+4）(a+3b+5)
注对于（*）式因为对a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n
令a=1,b=0,m+2n=14m=4
=>
令a=0,b=1,m=n=-1n=5
2.9因式定理、综合除法分解因式
对于整系数一元多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
由因式定理可先判断它是否含有一次因式(x-)（其中p，q互质），p为首项系数an的约数，q为末项系数a0的约数
若f（）=0,则一定会有（x-）再用综合除法，将多项式分解
例8分解因式x3-4x2+6x-4
解这是一个整系数一元多项式，因为4的正约数为1、2、4
∴可能出现的因式为x±1,x±2,x±4,
∵f(1)≠0,f(1)≠0
但f(2)=0,故(x-2)是这个多项式的因式，再用综合除法
21-46-4
2-44
1-220
所以原式=(x-2)(x2-2x+2)
当然此题也可拆项分解，如x3-4x2+4x+2x-4
=x(x-2)2+(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2)
分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运e799bee5baa6e79fa5e98193e78988e69d8331333234333366用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，一定要注意各种方法灵活运用，牢固掌握!
因式分解的公式
因式分解公式：7a64e58685e5aeb931333431353363
平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²
完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²
把式子倒过来：
(a+b)(a-b)=a²-b²
a²±2ab+b²=(a±b)²
就变成了因式分解，因此，我们把用利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方法称之为公式法。
例：
1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)
2、p4-1
=(p²+1)(p²-1)
=(p²+1)(p+1)(p-1)
3、x²+14x+49
=x²+2·7·x+7²
=(x+7)²
4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)²
=(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)²
=[(m-2n)+(m+n)]²
=(2m-n)²
扩展资料
注意点：
1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；
要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。
参考资料来源：百度百科-因式分解
因式分解
本文到此结束，希望对大家有所帮助。
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