已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:3的a次方+3的b次方
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设f(x)
=3^x+3^(1-x)
f'(x)=ln3[3^x -3^(1-x)]
由f'(x)=0得x=1/2,
当0＜x＜1/2时,f'(x)＜0,
当1/2＜x＜1时,f'(x)＞0,
所以 f(x)在(0,1)上的最大值为f(0)和f(1)中的较大值,
f(0)=f(1)=4,
所以 f(x)=3^x+3^(1-x)＜4,
取x=a,1-x=b,即得
3^a+3^b
=3^x+3^(1-x)
f'(x)=ln3[3^x -3^(1-x)]
由f'(x)=0得x=1/2,
当0＜x＜1/2时,f'(x)＜0,
当1/2＜x＜1时,f'(x)＞0,
所以 f(x)在(0,1)上的最大值为f(0)和f(1)中的较大值,
f(0)=f(1)=4,
所以 f(x)=3^x+3^(1-x)＜4,
取x=a,1-x=b,即得
3^a+3^b
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