用导数的定义,求函数y=sin(e^x+1)的导数.
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f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h
=lim(h→0)[sin(e^(x+h)+1)-sin(e^x+1)]/h
由和差化积公式得
=lim(h→0)2cos[(e^(x+h)+e^x+2)/2]sin[(e^(x+h)-e^x)/2]/h
=lim(h→0)2cos[(e^(x+h)+e^x+2)/2]lim(h→0)sin[(e^(x+h)-e^x)/2]/h
前者的极限很容易,后者使用等价无穷小
=2cos(e^x+1)lim(h→0)(e^(x+h)-e^x)/2h
=2cos(e^x+1)*e^x/2lim(h→0)(e^h-1)/h
=2cos(e^x+1)*e^x/2
=cos(e^x+1)e^x
=lim(h→0)[sin(e^(x+h)+1)-sin(e^x+1)]/h
由和差化积公式得
=lim(h→0)2cos[(e^(x+h)+e^x+2)/2]sin[(e^(x+h)-e^x)/2]/h
=lim(h→0)2cos[(e^(x+h)+e^x+2)/2]lim(h→0)sin[(e^(x+h)-e^x)/2]/h
前者的极限很容易,后者使用等价无穷小
=2cos(e^x+1)lim(h→0)(e^(x+h)-e^x)/2h
=2cos(e^x+1)*e^x/2lim(h→0)(e^h-1)/h
=2cos(e^x+1)*e^x/2
=cos(e^x+1)e^x
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