Question

若sinA+sinB=1/2,cosA+cosB=2分之根号3,求cos(A+B)的值？

Answer 1

∵ sin A + sin B = 1 / 2
∴ （sin A + sin B）² = 1 / 4
sin ² A + 2 sin A sin B + sin ² B = 1 / 4 ①

∵ cos A + cos B = √3 / 2
∴ （cos A + cos B）² = 3 / 4
cos ² A + 2 cos A cos B + cos ² B = 3 / 4 ②
① + ② 得： sin ² A + cos ² A + 2 sin A sin B + 2 cos A cos B + sin ² B + cos ² B = 1
1 + 2 sin A sin B + 2 cos A cos B + 1 = 1
2 sin A sin B + 2 cos A cos B = - 1

∵ sin ² A + 2 sin A sin B + sin ² B = 1 / 4
∴ 1 + 2 sin A sin B = 1 / 4
2 sin A sin B = - 3 / 4
sin A sin B = - 3 / 8
∴ 2 sin A sin B + 2 cos A cos B
= 2 cos A cos B - 2 sin A sin B + 4 sin A sin B
= 2（cos A cos B - sin A sin B）+ 4 × （- 3 / 8）
= 2 cos（A + B）- 3 / 2
= - 1
∴ 2 cos（A + B） = - 1 + 3 / 2 = 1 / 2

∴ cos（A + B）= 1 / 4,6,