Question

求证：当n是整数时,n的五次方减n是30的倍数？

Answer 1

n^5-n=n（n^2+1）（n+1）（n-1）
易得n,（n+1）,（n-1）是三个连续的整数,那么三个连续的整数其中有一个被3整除,至少有一个是偶数,即被2整除.
接下来讨论5的情况.
当n的个位数为0,5时,n被5整除,
当n的个位数为4,9时,n+1被5整除
当n的个位数为1,6时,n-1被5整除
当n的个位数为2,3,7,8时（n^2+1）被5整除
综上,无论n取值多少.均能被2,3,5同时整除,即被30整除,2,n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n^2-1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
注意一下n-1 n n+1是三个连续的自然数
特殊情况当n=1 0 -1时都是0 自然也能被30整除
(n-1)*n*(n+1)一定能被30整除
所以n^5-n一定能被30整除,2,数学归纳法
1.n=1时成立
2.设n=k时成立
则n=k+1时化简上式，并提出n^5-n,剩下的一定能被30整除,1,