Question

求函数f（x）＝（1-x）/（1+x）在x＝0处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式

Answer 1

过程如下：

令t=x-1，则有x=t+1，展开为x0=1处的泰勒公式即相当于展开为t的公式：

f(x)=1/x

=1/(1+t)

=1-t+t^2-t^3+t^4-...+(-1)^n t^n+ R(n)t^(n+1)

f^(n)(t)=(-1)^n *n!/(1+t)^(n+1)

f^(ζ)=(-1)^n*n!/(1+ζ)^(n+1)

R(n)=(-1)^n/(1+ζ)^(n+1)

扩展资料：

泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：

1、佩亚诺（Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在。

2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：

其中θ∈（0,1），p为任意正整数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） 

3、拉格朗日（Lagrange）余项：

其中θ∈（0,1）。

4、柯西（Cauchy）余项：

其中θ∈（0,1）。

5、积分余项：

其中以上诸多余项事实上很多是等价的。