Question

线性代数中||A||怎么算

Answer 1

||a|| = √(a,a) = √a^Ta

其中 (a,a) 是a与a的内积,是a的各分量的平方之和

如a=（X1,X2,X3）,则||a||=√X1^2+X2^2+X3^3

些矩阵范数不可以由向量范数来诱导，比如常用的Frobenius范数(也叫Euclid范数，简称F-范数或者E-范数)：║A║F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (A全部元素平方和的平方根)。

容易验证F-范数是相容的，但当min{m,n}>1时F-范数不能由向量范数诱导(||E11+E22||F=2>1)。可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。

扩展资料

谱半径和范数的关系是以下几个结论：

定理1：谱半径不大于矩阵范数，即ρ(A)≤║A║。

因为任一特征对λ,x,Ax=λx，可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。

定理2：对于任何方阵A以及任意正数e，存在一种矩阵范数使得║A║<ρ(A)+e。

定理3(Gelfand定理)：ρ(A)=lim_{k->∞} ║A^k║^{1/k}。

利用上述性质可以推出以下两个常用的推论：

推论1：矩阵序列 I,A,A^2,…A^k,… 收敛于零的充要条件是ρ(A)<1。

推论2：级数 I+A+A^2+... 收敛到(I-A)^{-1}的充要条件是ρ(A)<1。

参考资料来源：百度百科-矩阵范数