Question

一阶导数的定义是什么？

Answer 1

一阶导数：一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数f的自变量在一点x0上产生一个增量h时，函数输出值的增量与自变量增量h的比值在h趋于0时的极限如果存在，即为f在x0处的导数。

公式如下图：

一阶导数表示的是函数的变化率，最直观的表现就在于函数的单调性定理：设f(x)在[a，b]上连续，在（a，b)内具有一阶导数，那么：

（1）若在(a，b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递增；

（2）若在(a，b)内f’(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递减；

（3）若在(a，b)内f'(x)=0,则f(x)在[a,b]上的图形是平行（或重合）于x轴的直线，即在[a,b]上为常数。

Answer 2

假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0-a ，x0 +a)内有定义，当自变量的增量Δx= x-x0→0时函数增量 Δy=f(x)-f(x)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率)，记作f′(x0)，即f′(x0)=Δy/Δx (Δx→0)
几何意义：函数y=f(x)在x0点的导数f′(x0)的几何意义:表示曲线l 在P0(x0,f(x0)) 点的切线斜率。