如图,△ABC中,∠ABC=90°,D为△ABC内一点,AD=AC=BC,∠DAC=30°,求证:BD=CD
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证明：构造△ABD',D'在△ABC内部,使得AD'=BD',∠D'AC=∠D'CA=15°,连DD'
显然△ACD≌△ABD',
所以∠DAD'=∠BAC-∠BAD'-∠CAD=90-15-15=60,
所以△ADD'是等边三角形
所以DD'=AD'
因为∠BD'A=180-∠BAD'-∠ABD'=180-15-15=150,
所以∠BDD'=360-∠BD'A-∠AD'D=360-150-60=150
又BD'是公共边
所以△ABD'≌△CBD'
所以BD=AB
显然△ACD≌△ABD',
所以∠DAD'=∠BAC-∠BAD'-∠CAD=90-15-15=60,
所以△ADD'是等边三角形
所以DD'=AD'
因为∠BD'A=180-∠BAD'-∠ABD'=180-15-15=150,
所以∠BDD'=360-∠BD'A-∠AD'D=360-150-60=150
又BD'是公共边
所以△ABD'≌△CBD'
所以BD=AB
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