Question

证明：n个连续自然数的乘积能被n!整除（非排列组合法证明）？

Answer 1

连续n个数可以记为m+1,m+2,...,m+n,乘积为M
(m+1)(m+2)...(m+n) mod 1 ＝0
(m+1)(m+2)...(m+n) mod 2 ＝0*1*...＝0
(m+1)(m+2)...(m+n) mod 3 ＝0*1*2*...＝0
(m+1)(m+2)...(m+n) mod 4 ＝0*1*2*3*...＝0
...
(m+1)(m+2)...(m+n) mod n ＝0*1*2*3*...*n=0
文字表述为：
因为连续n个数必定占据n的全余数子集,会有某个数和n同余.
所以这n个数的积必定整除n.
因为n>1到n-1的任意整数,所以自然M也整除1到n-1的所有数.
既然M整除1到n的所有数,那么M整除n!,2,
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因为n>1到n-1的任意整数，所以自然M也整除1到n-1的所有数。 关于这句话有疑问，M整除1到n的所有整数，只能说明M整除1到n这些数的最小公倍数，未必能够整除n! 本人观点就这样，言尽于此。,设 p为n!的任一素因子，并且 p^a | n!, 但 p^(a+1)不能整除 n!.
[x] 表示x的整数部分。
则 a =
[n / p] 1，2，...,n 中包含至少 一个p因子的数的个数。
+ [n / p^2] 1，2，...,n 中 包含至少 2个p因子的数的个数...,1,