Question

齐次线性方程组有无解的情况

Answer 1

求齐次线性方程组的基础解系及通解一般方法:

第1步: 用初等行变换将系数矩阵化为行简化梯矩阵(行最简形), 由此确定自由未知量: 

非零行的首非零元所在列对应的未知量为约束未知量, 其余未知量为自由未知量.

第2步: 根据行简化梯矩阵写出同解方程组, 并将自由未知量移至等式的右边.
(此步可省）

第3步: 自由未知量分别取(1,0,…,0),(0,1,…,0),(0,0,…,1), 代入上述方程得出基础解系.

第4步: 写出方程组的通解。

扩展资料：

定理

齐次线性方程组

 

有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。

推论

齐次线性方程组

 

仅有零解的充要条件是r(A)=n。

性质：

1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。（克莱姆法则）