Question

高一数学函数难题..对於我来说..高手请进

求实数m的范围,关於x的方程x2+2(m-1)+2m+6=0
1.求两个实数根,且一个比2大,一个比2小:
2.有2个实数根且都比1大
3.有2个实数根a,b 且都满足0＜a＜1＜b＜4
4.至少有一个正根

这就是问题了,我连第一问都动不了,求高手指点
最好附上学习函数的心得,和一些体会

Answer 1

1）抛物线y=x^2+2(m-1)x+2m+6开口向上
2位于两根之间，因此x=2对应的y值小于0
2^2+2(m-1)*2+2m+6<0
6m+6<0
m<-1
[或按Δ>0且（x1-2）*(x2-2)<0计算]
2)两个大于1的实根，需满足：
Δ>0
x1+x2>2
(x1-1)*(x2-1)>0

即m<-1或m>5
且m<0
且m>-5/4

得-5/4<m<-1
3）抛物线y=x^2+2(m-1)x+2m+6开口向上
由题意：
y(0)>0
y(1)<0
y(4)>0

带入得：
2m+6>0
4m+5<0
10m+14>0

-7/5<m<-5/4
4)由韦达定理，
x1+x2=-2(m-1)
x1*x2=2m+6
至少有一个正根，分为一正一负，两个正根，和一个0根一个正根三种：
当一根为0时，2m+6=0，m=-3，带入原方程，x=0或8，满足题意
一正一负，两根之积小于0。2m+6<0.得m<-3
两正根，两根和、积均大于0。得-3<m<1
综上，m<1
但还需考虑方程一定有实根：Δ≥0，既m≤-1或m≥5

因此，综合的结果是m≤-1时，至少有一个正根。

Answer 2

关于问题解答楼上说的十分详细！
但是可以简单一点
1.∵x²+(m-1）x（这里应该是有一个x打掉了。）+2m+6
2次项系数为正，所以该函数开口向上
因此画个图就可以明白，只要满足x=2时，y＜0就可以满足根一个比2大,一个比2小啦~图还是画得来吧~
2.x=1时y＞0且对称轴（-b/2a）＞1
3.x=0时y＞0，x=1时y＜0，x=4时y＞0
4.x=0时y＜0.
画出图后研究一下就可以明白了，计算过程就自己来了，多计算也有利于提高成绩。
这些对这种形式的大部分问题都有效的。