Question

解方程0=行列式1111，abcd，a^2b^2c^2d^2，a^4b^4c^4d^4？

Answer 1

0=行列式
1 1 1 1
a b c d
a^2 b^2 c^2 d^2
a^4 b^4 c^4 d^4
把第二、三、四列分别减去第一列后按第一行展开得0=
b-a c-a d-a
b^2-a^2 c^2-a^2 d^2-a^2
b^4-a^4 c^4-a^4 d^4-a^4,
分别提取各列的公因式，得0=(b-a)(c-a)(d-a)*
1 1 1
b+a c+a d+a
a^3+a^2b+ab^2+b^3 a^3+a^2c+ac^2+c^3 a^3+a^2d+ad^2+d^3
第二、三列分别减去第一列后按第一行展开得0=(b-a)(c-a)(d-a)*
c-b d-b
c^3-b^2+a(c^2-b^2)+a^2(c-b) d^3-b^3+a(d^2-b^2)+a^2(d-b)
分别提取各列的公因式，得0=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)*
1 1
c^2+bc+b^2+ac+ab+a^2 d^2+bd+b^2+ad+ab+a^2
=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d^2+bd+ad-c^2-bc-ac)
=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(d+c+a+b),
所以a=b,或a=c,或a=d,或b=c,或b=d,或c=d,或a+b+c+d=0.