Question

高一数学高手请进~！

已知函数f（x）对任意实属x，y满足f（x）+f（y)=f（x+y）+2，当x＞0时，f（x）＞2。
（1）求证：f（x）为R上的增函数：

（2）当f（3）=5时，解关于a的不等式：f（a^2 -2a-2）＜3

Answer 1

(1)证明:f(x)+f(y)=f(x+y)+2
则当y>0时
x+y>x
f(x+y)-f(x)=f(y)-2>0
所以得出函数f(x)在R上是增函数
(2)因为f(3)=5
根据f(x)+f(y)=f(x+y)+2
则f(1)+f(2)=f(3)+2
即f(1)+f(2)=7
而f(2)+2=f(1)+f(1)
根据上面两个式子:
3f(1)-2=7
所以f(1)=3
因为函数f(x)在R上是增函数
要使f(a2-2a-2)<3
a^2-2a-2<1
解得:1-根号3<a<1+根号3

Answer 2

x1>x2,x1=x2+m(m>0)
f(x1)=f(x2+m)=f(x2)+f(m)-2
f(m)>2
f(x1)-f(x2)=f(m)-2>0
f(x1)>f(x2)
所以f（x）为R上的增函数

f(3)=5
f(1)+f(2)=f(3)+2=7
f(1)+f(1)=f(2)+2,f(2)=2f(1)-2
3f(1)-2=7
f(1)=3
f（a^2 -2a-2）＜3=f(1)
f（x）为R上的增函数
所以a^2 -2a-2<1
a^2-2a-3<0
(a+1)(a-3)<0
-1<a<3