Question

1的无穷大次方为何等于e？

Answer 1

首先，1的无穷大次方并不等于e，而是等于1。

之所以会产生这样的歧义主要是因为以下两个式子：

乍一看仿佛是等量代换，得出1的无穷次方等于e，

【但是】——

这样的等量代换在极限的计算过程中是不可行的，

【因为】——

极限的计算与普通的运算不一样，凡是带有极限的式子都是一个整体，并不能拆开来先算一部分然后再算另一部分。这是因为极限式中的每一部分对极限的整体收敛是同步在起作用的，而不是一部分先收敛，另一部分之后再进行。

就拿这道题的例子：

当x趋于正无穷时，虽然1/x在不断减少，但作为指数的x却在不断增大，

指数x增大的这部分弥补并逐渐超越了1/x减少的部分，

所以整个极限式是在不断增大的，并且无限趋近于e

（比如：1.0001已经很接近1了，但1.0001^10000却等于2.718145...远远大于1）

所以下面才是正确的式子：

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【补充】——

为什么x的增大能超越1/x的减小？

见下图

随着x的增大，1/x减少的速度越来越慢，而x的增长速度却始终不变，

这样一来，两边速度差就会越来越大，最终导致了极限e的诞生~